[Risolto] piano retta paralleli

La retta
* (x = 1 + 2*t) & (y = - 1 - 2*t) & (z = 3 + t) ≡ (y = - x) & (z = (x + 5)/2)
è parallela al piano
* x + k*y + k*z - 2 - k = 0
per quei valori di k, se esistono, per i quali risulti impossibile il sistema
* (y = - x) & (z = (x + 5)/2) & (x + k*y + k*z - 2 - k = 0) ≡
≡ (x = (3*k - 4)/(k - 2)) & (y = (4 - 3*k)/(k - 2)) & (z = (4*k - 7)/(k - 2))
cioè solo per k = 2.
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Per k = 2 il piano è
* π ≡ x + 2*y + 2*z - 4 = 0 [(a, b, c, d).(x, y, z, 1) = 0]
e il punto di supporto della retta (per t = 0) è
* P(1, - 1, 3)
La richiesta distanza è
* d = |(1, 2, 2, - 4).(1, - 1, 3, 1)|/√(1^2 + 2^2 + 2^2) =
= |1|/√(9) = 1/3
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VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=distance%281%2C-1%2C3%29%2C%28x%2B2*y%2B2*z-4%3D0%29
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OPERATORI
* "&" per intersezione
* "≡" per equivalenza
* "*" per prodotto con un numero (star product)
* "." per prodotto scalare (dot product)

il vettore direzionale della retta è 

$(2,-2,1)$ (sono i coefficienti di $t$)

il vettore perpendicolare al piano è

$(1,k,k)$   (sono i coefficienti di $x,y,z$)

basta imporre che tali vettori siano perpendicolari fra loro, ovvero che il loro prodotto scalare sia nullo:

$<(2,-2,1),(1,k,k)>=0$  --> $2-2k+k=0$ --> $k=2$