Piano cartesiano e rette come si fa a risolvere se non c'è l'equazione del fascio?

Tra le rette del fascio di P(-2;4) trova la retta: 

a. passante per A (1;-3); 

y - 4 = m·(x + 2)-----> -3 - 4 = m·(1 + 2)-----> -7 = 3·m-----> m = - 7/3

y - 4 = (- 7/3)·(x + 2)-----> y = - 7·x/3 - 2/3

b. passante per l'origine; 

0 - 4 = m·(0 + 2)----->-4 = 2·m---->  m = -2

y - 4 = (-2)·(x + 2)-----> y = - 2·x

c. parallela all'asse x;

m = 0------> y=4

d. perpendicolare alla retta che passa per B(0;2) e C(4; 0).

m = (2-0)/(0,-4)----> m = -1/2

condizione di perpendicolarità: m=2

y - 4 = 2·(x + 2)------> y = 2x+8

 

 

 

 

MA CERTO CHE C'E': è data implicitamente dicendo che è un fascio proprio centrato su P(- 2, 4). Sta a te, visti i quesiti, decidere in quale forma esplicitarla.
A mio parere la forma più flessibile è quella per distinzione di casi che comprende tutte le rette per P: sia quelle con pendenza k reale che quella parallela all'asse y
* r(k) ≡ (x = - 2) oppure (y = 4 + k*(x + 2))
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Due quesiti (a, b) sono condizioni di passaggio, con equazioni di vincolo
a) - 3 = 4 + k*(1 + 2) ≡ k = - 7/3 → r(- 7/3) ≡ y = - (7*x - 2)/3
b) 0 = 4 + k*(0 + 2) ≡ k = - 2 → r(- 2) ≡ y = - 2*x
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Gli altri due (c, d) sono condizioni sulla pendenza, assai più semplici: c chiede pendenza k = 0; d chiede pendenza antinversa a quella della congiungente
* BC ≡ y = 2 - x/2
di pendenza - 1/2, quindi chiede k = + 2.
Le rette richieste risultano
c) r(k) ≡ y = 4 + 0*(x + 2) ≡ y = 4
d) r(k) ≡ y = 4 + 2*(x + 2) ≡ y = 2*x + 8