Dati i punti $A(3 ; 1), B(6 ; 7)$ e $C(-k+2 ;-k)$, determina per quali valori di $k$, se esistono:
a. il triangolo $A B C$ è isoscele sulla base $A B$;
b. $C$ è il punto medio di $A B$;
c. il triangolo $A B C$ è rettangolo in $B$.
$\left[\right.$ a) $k=-\frac{7}{2} ;$ b) impossibile; c) $\left.k=-6\right]$
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Livello 1
Ciao.
Deve essere:
(-k + 2 - 3)^2 + (-k - 1)^2 = (-k + 2 - 6)^2 + (-k - 7)^2
(k^2 + 2·k + 1) + (k^2 + 2·k + 1) = (k^2 + 8·k + 16) + (k^2 + 14·k + 49)
2·k^2 + 4·k + 2 = 2·k^2 + 22·k + 65
k = - 7/2
C[-(- 7/2) + 2, -(- 7/2)]--------> C(11/2, 7/2)
-----------------------------------------------
Devono essere verificate contemporaneamente le equazioni:
{-k + 2 = (3 + 6)/2
{-k = (1 + 7)/2
Risultando :
{k = - 5/2
{k = -4
Il problema è impossibile.
-------------------------------------------------
Deve essere verificato il teorema di Pitagora:
BC^2=(-k + 2 - 6)^2 + (-k - 7)^2= 2·k^2 + 22·k + 65
AB^2=(6 - 3)^2 + (7 - 1)^2= 45
AC^2=(-k + 2 - 3)^2 + (-k - 1)^2=2·k^2 + 4·k + 2
Quindi:
2·k^2 + 22·k + 65 + 45 = 2·k^2 + 4·k + 2
k = -6
C([-(-6) + 2, -(-6)]---------------> C(8, 6)
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Genius III
