Piano cartesiano e rette

AD = √10 u

AB = √3^2+4^2 = 5,0 u

 perimetro 2p = 10+2√10 = 2(5+√10)u

diagonale minore d = Cx-Ax = 3-(-2) = 5 u 

diagonale maggiore D = √Bx-Ax)^2+(By-Dy)^2 = √3^2+6^2 = √45  = 3√5 u

Rappresenta i punti A = (−2; 1), B = (2, 4), C = (3, 1) e D = (−1;−2) sul piano cartesiano. Determina il perimetro e le diagonali del quadrilatero ABCD.

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---------- Vedi grafico allegato:

Considero il triangolo ADF e calcolo l'ipotenusa AD:
AF=3 u
DF=1 u
AD=Sqrt(AF^2+DF^2) = 3.16227766 u

Considero il triangolo CDE e calcolo l'ipotenusa CD:
CE=3 u
DE=4 u
CD=Sqrt(CE^2+DE^2) = 5 u

Calcoliamo il perimetro
2p=2*AD+2*CD = 16.32455532 u

Per la diagonale AC non c'è bisogno di calcolarla, basta guardare il disegno da cui se evince, contando i quadratini, che:
AC=5 u

Per la diagonale BD consideriamo il triangolo rettangolo BDG e calcoliamo l'ipotenusa BD:
BG=6 u
DG=3 u
BD=Sqrt(BG^2+DG^2) = 6.708203932 u

Il quadrilatero ABCD ottenuto connettendo in ordine alfabetico i vertici
* A(- 2, 1), B(2, 4), C(3, 1), D(- 1, - 2)
dovrebb'essere un rettangolo affinché i risultati vengano 5 per entrambe le diagonali, cosa che si verifica in due passi.
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1) I punti medi delle diagonali coincidono?
* M1 = (A + C)/2 = ((- 2, 1) + (3, 1))/2 = (1/2, 1)
* M2 = (B + D)/2 = ((2, 4) + (- 1, - 2))/2 = (1/2, 1)
Sì, coincidono: ABCD è parallelogramma.
Occorre il secondo controllo (da cui il perimetro p = 2*(|AB| + |AD|)), ABCD potrebb'essere rettangolo.
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2) I lati adiacenti sono ortogonali?
* AB = B - A = (2, 4) - (- 2, 1) = (4, 3); |AB| = 5
* AD = D - A = (- 1, - 2) - (- 2, 1) = (1, - 3); |AD| = √10
* p = 2*(|AB| + |AD|) = 10 + 2*√10
* AB × AD = |AB|*|AD|*sin(θ) = (4, 3) × (1, - 3) ≡
≡ (5*√10)*sin(θ) = 4*(- 3) - 3*1 = - 15 ≡
≡ sin(θ) = - 15/(5*√10) = - 3/√10 ≡
≡ θ = arcsin(- 3/√10) ~= - 1.249 rad ~= - 72° != ± 90°
No, non sono ortogonali: ABCD non è rettangolo, ha diagonali differenti.
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Avendo già ottenuto
* p = 2*(|AB| + |AD|) = 10 + 2*√10
restano da calcolare le lunghezze delle diagonali
* AC = C - A = (3, 1) - (- 2, 1) = (5, 0); |AC| = 5
* BD = D - B = (- 1, - 2) - (2, 4) = (- 3, - 6); |BD| = 3*√5
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Nota personale
"non basta usare la formula della distanza tra i punti BD? oppure il teorema di Pitagora?"
La distanza tra due punti U e V è la lunghezza dell'ipotenusa che ha per cateti le proiezioni del segmento UV sugli assi coordinati ed è anche il modulo del segmento orientato "V - U".
Perciò è una falsa alternativa fra "la formula della distanza" e "il teorema di Pitagora" e —aggiungo io— "il modulo di V - U": fra di essi non c'è posto per un "oppure" perché sono la medesima cosa.