[Risolto] Piano cartesiano e retta

RIPASSI
---------------
A) Le coordinate del baricentro di un insieme di punti sono la media aritmetica semplice delle omologhe dei punti. Per i vertici di un triangolo, la terza parte della somma algebrica di quelle dei vertici.
---------------
B) Il circumcentro di un insieme di punti, se esiste, è l'unico punto equidistante da ciascuno dei punti e la comune distanza è il circumraggio.
Per i vertici di un triangolo non degenere, il circumcentro esiste in ogni caso e si calcola eguagliando i quadrati delle distanze del generico P(a, b) dai vertici col quadrato del circumraggio
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2
che è un sistema di tre equazioni nelle tre incognite (a, b, R); il circumcerchio è
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
---------------
C) L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
---------------
D) La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
---------------
E) La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
---------------
Dai vertici
* A(1, 3), B(4, 1), C(3, 5)
si calcola tutto ciò che occorre per rispondere ai quesiti.
* area S(ABC) = 5
* baricentro G(8/3, 3)
* circumcerchio (x - 31/10)^2 + (y - 29/10)^2 = 221/50 da cui
** circumcentro (31/10, 29/10)
** circumraggio R = √(221/50)
* segmento AB ≡ (y = (11 - 2*x)/3) & (1 <= x <= 4)
* distanza di C(3, 5) dalla retta AB
** h = 10/√13
* punto cursore sul lato AB: P(k, (11 - 2*k)/3), con 1 <= k <= 4
* distanze di P dagli estremi
** |PA| = (√13/3)*|k - 1|
** |PB| = (√13/3)*|k - 4|
* area S(APC) = h*|PA|/2
* area S(PBC) = h*|PB|/2
* rapporto S(APC)/S(PBC) = (h*|PA|/2)/(h*|PB|/2) =
= |PA|/|PB| = |k - 1|/|k - 4|
E FINALMENTE
* (|k - 1|/|k - 4| = 4/5) & (1 <= k <= 4) ≡ k = 7/3
da cui
* P(7/3, (11 - 2*7/3)/3) = (7/3, 19/9)

 

Sono riuscita a trovare tutto tranne il circocentro e il rapporto tra l'area dei triangolo APC e PBC. Per favore aiutatemi ! OK!

Quindi limitiamoci a quanto da te richiesto.

Per il circocentro ti basta determinare gli assi dei lati AC e BC. Sfruttiamo le proprietà degli assi di un segmento

AC-----> punto medio D(2,4); pendenza di AC= m=1 (facilmente verificabili)

asse di AC: m = -1 passa per D: y - 4 = - 1·(x - 2)-----> y = 6 - x

BC------> punto medio E(7/2,3); pendenza di BC=m=-4

asse di BC: m=1/4 passa per E: y - 3 = 1/4·(x - 7/2)--------> y = x/4 + 17/8

Metti a sistema queste due rette trovate ed ottieni il circocentro  H:

{y = 6 - x

{y = x/4 + 17/8

soluzione: [x = 31/10 ∧ y = 29/10]------> H(31/10,29/10)

Per l'ultima parte:

Determina sul lato AB un punto P in modo che il rapporto tra l'area dei triangoli APC e PBC sia 4/5.

Si risponde: siccome i triangoli APC ed PBC hanno la stessa altezza, basterà suddividere il lato AB in 

4+5=9 parti e quindi il punto P si troverà a 4/9 del percorso A(1,3)---->B(4,1).

Ma questo lo lascio fare a te.....

 

Ti rispondo all'ultima domanda. (per completezza!)

[1, 3]

[4, 1]

sono i punti iniziale e finale. Su tale segmento c'è il punto P

{x = 1 + α·t

{y = 3 + β·t

determino i coefficienti

{4 = 1 + α·1

{1 = 3 + β·1

-----------

{α = 3

{β = -2

-----------------

{x = 1 + 3·t

{y = 3 - 2·t

per t=4/9

{x = 1 + 3·(4/9)

{y = 3 - 2·(4/9)

P( 7/3,19/9)