[Risolto] Piano cartesiano e retta

1) a.

L'espressione generica di una retta implicita è $ ay+bx+c = 0 $

mentre di una retta esplicita è $ y = mx+q$, dove $m$ è il coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta rispetto al semiasse positivo delle ascisse, mentre $a$ si chiama quota e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate.

b. Bisettrice I e III quadrante: $y = x$
Bisettrice II e IV quadrante: $y = -x $

c. $x = 0 $
d. $y = 0$

e. ha solo il valore dell'ascissa, quindi $ x = k$

f. Ha solo il valore dell'ordinata, quindi $ y = k $

2)

Per l'equazione della retta passante per i punti $A (x_A; y_A)$ e $B(x_B; y_B)$ bisogna inanzitutto calcolare il coefficiente angolare:

$m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{ 3-1}{6+2} = \frac28 = \frac14 $

e poi usare la formula:

$y -y_A = m (x-x_A) $

$y -1 = \frac14(x+2) $

$y = \frac14 x + \frac32 $

$ 4y = x+6$ 

$x+6-4y = 0 $

3) 

Facciamo il metodo algebrico: mettiamo a sistema le due equazioni:

$\begin{cases} x+y -5 = 0 \\ 2x+y+1 = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} y = 5-x \\ 2x +(5-x) +1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 5-x \\ x +5+1 = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} y = 5-x \\ x = -6 \end{cases} $

$\begin{cases} y = -5-6 \\ x = -6 \end{cases} $

$\begin{cases} y = -11 \\ x = -6 \end{cases} $

Quindi il punto di intersezione è$P(-6; -11) $

4) Esprimiamo $r$ in forma esplicita:

$ 2y = -4x+3 $ 

$ y = -2x+\frac32$

Quindi il suo coefficiente angolare è $m_r = -2 $

Il coefficiente angolare di una retta ad essa parallela è sempre $m_{//} = -2$, e se deve passare per $P(2;-3)$ avrà equazione:

$y-y_P = m_{//}(x-x_P)$

$y+3 = -2(x-2) $

$y = -2x +1 $

Il coefficiente angolare di una retta ad essa perpendicolare è $m _{perp} = -\frac{1}{-2} = \frac12$

e la retta:

$y-y_P = m_{perp}(x-x_P)$

$y+3 = \frac12(x-2) $

$y = \frac12x -4 $

5)

 Per calcolare l'area ci serve la lunghezza della base $AC$

$AC = \sqrt{ (x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2} = \sqrt{ 36+36} = 6 \sqrt{2} $

E la misura dell'altezza, che è la distanza (che è sempre perpendicolare per definizione) tra il punto $B$ e il segmento $AC$.

Calcoliamo quindi la retta su cui giace il segmento $AC$:

$m_{AC} = -1 $

$y-0 =-1(x-4) $

$y = -x+4 $

$y +x-4 = 0 $

e usiamo la formula della distanza punto retta, che ha questa espressione:

$P(x_P; y_P)$, $r: ax+by+c = 0 $

$d = \frac{ | a x_P + b y_P +c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

Quindi, per noi $P = B = (-3;1)$, $ a = 1$, $b = 1$, $c = -4 $

$d = \frac{ | 1 (-3) + 1 (1) -4 |}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-3+1-4|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$

che è quindi il valore dell'altezza relativa alla base $AC$.

L'area quindi è : $\frac{b \cdot h }{2} = \frac{ 6 \sqrt{2} \cdot  \frac{6}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18 $

ti risolvo il 2).

equazione implicita di una retta è $y=mx+q$

imponiamo il passaggio per A(-2,1):

$1=-2m+q$ --> $q=1+2m$

Imponiamo il passaggio per B(6,3)

$3=6m+1+2m$ --> $2=8m$ --> $m=1/4$ e quindi $q=1+2/4=3/2$

Pertanto la retta cercata ha equazione 

$y=1/4x+3/2$ oppure in forma esplicita $x-4y+6=0$