[Risolto] Piano cartesiano e retta

ORTOCENTRO = punto di incontro altezze. Essendo il triangolo isoscele sulla base AB l'altezza relativa alla base è anche mediana, bisettrice ed asse di AB. 

L'ascissa dell'ortocentro sarà quindi uguale all'ascissa del punto medio di AB.

X_o = (-1-9) / 2 = - 5

Stesso discorso per l'ascissa dell'incentro e del circocentro. 

Calcoliamo ora l'equazione della retta contenente l'altezza relativa al lato AC. 

Coff_angolare - AC = 3/4

QUINDI l'altezza relativa ad AC avrà coefficiente angolare - 4/3

poiché per essere perpendicolari il prodotto m*m1= - 1

Inoltre l'altezza relativa ad AC passa per il punto B e quindi la sua equazione sarà:

y-2 = - 4/3 (x+9)

Avendo l'ortocentro ascissa pari a - 5 possiamo trovare 

Y_o = 2 - 4/3 * (-5 + 9) = 2 - 16/3 = - 10/3

CIRCOCENTRO: Pto di incontro assi

Il punto medio di AC ha coordinate (-3, 1/2) e quindi l'equazione dell'asse risulta 

y-1/2 = - 4/3 * (x+3)

Sostituendo ad x il valore - 5 possiamo trovare l'ordinata 

y= 1/2 + 8/3 = 19/6

INCENTRO: incontro delle bisettrici

Scriviamo l'equazione della bisettrice di AC

(y=3/4*x+11/4) e AB (y-2=0)

Risulta:

(3x-4y+11)/(radice (25)) = y-2

3x-9y+21=0

y=(3x + 21)/9

Sostituendo il valore x=-5 otteniamo 

Y=6/9 = 2/3

Dei vertici
* A(- 1, 2), B(- 9, 2), C(- 5, - 1)
A e B sono allineati sulla retta y = 2 a distanza otto (xA - xB = 8); il vertice C, a distanza tre (yAB - yC = 3) dal lato AB, ha l'ascissa media fra le altre due ((xA + xB) = - 5); il piede dell'altezza per C è H(- 5, 2); perciò ABC è isoscele sulla base AB e tutti i centri richiesti sono, per simmetria, sull'altezza CH ≡ x = - 5.
Restano da determinare le ordinate, elencate in ordine decrescente.
1) circumcentro P(- 5, 19/6): è equidistante da A, B e C, soluzione di
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2 ≡ P(- 5, 19/6) & (R = 25/6)
2) incentro I(- 5, 2/3): è equidistante dai tre lati (a, b, c), soluzione di
* |Ia|^2 = |Ib|^2 = |Ic|^2 = r^2 ≡ I(- 5, 2/3) & (r = 4/3)
3) baricentro G(- 5, 1): yG = (yA + yB + yC)/3 = (2 + 2 - 1)/3 = 1
4) ortocentro O(- 5, - 10/3): per trovare la retta di un'altezza da intersecare con CH occorrono la retta di un lato di gamba e la sua perpendicolare condotta dal vertice opposto. Non mi va di scriverlo qui, ma puoi confrontare il risultato coi calcoli tuoi.