piano cartesiano

1) La Retta per A e B ha coeff angolare:
(4-1)/(0+1)=3

L'asse del segmento è perpendicolare a questa retta.
La retta perpendicolare all'asse del segmento è parallela a questa.
Quindi la retta cercata deve avere coefficiente angolare=3.
Quindi: (-k)/(1-k)=3
=> -k=3-3k (II Principio di equivalenza)
=> 2k=3 (I Principio)

=> k=3/2 (II Principio)

2)Dati la Retta ax+by+c=0 ed il Punto (Xp, Yp) la distanza del punto dalla retta è:
|a*Xp + b*Yp +c|/"Radice di a^2 +b^2"

Quindi:
|(k)*0 + (1-k)*4 -3| /"Radice di k^2+1+k^2+2k"=1
=>|1-4k|="Radice di k^2+1+k^2+2k" (Calcoli dentro al valore assoluto e II Principio).

Dato che i due membri sono entrambi positivi, posso elevare tutto al quadrato.
=>1+16k^2-8k=2k^2+2k+1
=>14k^2-10k=0
=>7k^2-5k=0
=>k(7k-5)=0
=>

k1=0
k2=5/7

Che strano pseudonimo "iljambega"!
Sembra la giustapposizione di un nome slavo (Ilja) con un cognome patronimico dell'Africa Occidentale (Nbega = i figli dei Bega) e nesso assimilato all'italiana (nb → mb). Boh!
Passo subito alla matematica.
-----------------------------
A) Esame del fascio
Dall'equazione
* r(k) ≡ k*x + (1 - k)*y - 3 = 0
si ha
* r(0) ≡ y = 3
* r(1) ≡ x = 3
quindi si tratta di un fascio proprio centrato in C(3, 3) di pendenza, se k != 1,
* m(k) = k/(k - 1)
-----------------------------
B) Esame delle consegne
B1) "perpendicolare all'asse del segmento" vuol dire "parallela al segmento" cioè con pari pendenza della retta su cui giace il segmento.
B2) "ha distanza 1 dal punto P(0, 4)" vuol dire tangente alla circonferenza di raggio uno e centro P.
-----------------------------
C) Risoluzione
---------------
C1) La retta congiungente A(- 1, 1) con B(0, 4)
* AB ≡ y = 3*x + 4
ha pendenza tre; quindi da
* m(k) = k/(k - 1) = 3 ≡ k = 3/2
si ha
* r(3/2) ≡ y = 3*(x - 2)
---------------
C2) La circonferenza di raggio uno e centro P(0, 4) è
* Γ ≡ x^2 + (y - 4)^2 = 1 ≡ x^2 + y^2 - 8*y + 15 = 0
rispetto alla quale la polare p del polo C(3, 3) è
* p ≡ x*3 + y*3 - 8*(y + 3)/2 + 15 = 0 ≡ y = 3*(x + 1)
--------
Il sistema fra polare e conica dà i punti di tangenza
* p & Γ ≡ (y = 3*(x + 1)) & (x^2 + (y - 4)^2 = 1) ≡
≡ T1(0, 3) oppure T2(3/5, 24/5)
da cui le rette richieste
* CT1 ≡ y = 3
* CT2 ≡ y = - (3/4)*(x - 7)
---------------
Vedi un po' di tutto al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-4%29%5E2%3D1-x%5E2%2C%283*%28x-2%29-y%29*%283*x--4-y%29%3D0%2C%28-%283%2F4%29*%28x-7%29-y%29*%283-y%29*%283*%28x+%2B+1%29-y%29%3D0%5D