Considera sulla retta r di equazione 2x + y - 1 = 0 il punto A appartenente all'asse y.
Dato il punto P(2b - 3; 5b + 1) determina per quali valori di b, se esistono, la retta PA:
a. è parallela a r;
b. è perpendicolare a r;
c. passa per l'origine.
[a) * 2/3; b )- 3 8 ;c) 3 2 ]
292
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Livello 1
Le consegne chiedono di determinare tre rette: a, con la stessa pendenza di r; b, con pendenza antinversa di quella di r; c, che passi per l'origine.
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La retta
* r ≡ 2*x + y - 1 = 0 ≡ y = 1 - 2*x
ha pendenza m = - 2 e le sue parallele hanno la forma
* a(q) ≡ y = q - 2*x
mentre le sue perpendicolari, di pendenza m' = - 1/m = 1/2, hanno la forma
* b(q) ≡ y = q + x/2
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Le richieste rette {a, b, c} sono soggette a due vincoli:
1) appartenere al fascio di centro A(0, 1), intersezione di r con l'asse y (quindi a(1) ≡ r e b(1));
2) passare per un'acconcia posizione del cursore P(2*b - 3, 5*b + 1), da esprimere col valore di b.
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Il luogo p delle posizioni di P si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate
* (x = 2*b - 3) & (y = 5*b + 1) ≡
≡ (b = (x + 3)/2) & (y = (5*x + 17)/2)
* p ≡ y = (5*x + 17)/2
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Per il punto A(0, 1) passano tutte e sole le rette:
* x = 0, l'asse y;
* r(k) ≡ y = 1 + k*x, per ogni pendenza k reale.
In particolare
* r(- 2) ≡ r ≡ a(1) ≡ y = 1 - 2*x
* r(1/2) ≡ b(1) ≡ y = 1 + x/2
* x = 0 ≡ c
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Le corrispondenti posizioni di P e i relativi valori del parametro b si hanno intersecando p con {a, b, c}.
* (y = (5*x + 17)/2) & (y = 1 - 2*x) ≡ P(- 5/3, 13/3) → b = (- 5/3 + 3)/2 = 2/3
* (y = (5*x + 17)/2) & (y = 1 + x/2) ≡ P(- 15/4, - 7/8) → b = (- 15/4 + 3)/2 = - 3/8
* (y = (5*x + 17)/2) & (x = 0) ≡ P(0, 17/2) → b = (0 + 3)/2 = 3/2
57798
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Genius I
