piani nello spazio

Svolgo a mano

Il secondo sino al punto a)

Determinazione piano β

Il piano è perpendicolare ad 

α : x + y - 3·z + 2 = 0

Impongo il passaggio del piano cercato a·x + b·y + c·z + d = 0

  per A e B:

 A [-1, -3, 0] ; B [0, 2, 1]

{a·(-1) + b·(-3) + c·0 + d = 0

{a·0 + b·2 + c·1 + d = 0

Risolvo quindi:

{a + 3·b - d = 0

{2·b + c + d = 0

ottengo: [ b = - (a + c)/5 ∧ d = (2·a - 3·c)/5 ]

a·x - y·(a + c)/5 + c·z + (2·a - 3·c)/5 = 0

Impongo la condizione di perpendicolarità con:

x + y - 3·z + 2 = 0

che è:

1·a + 1·(- (a + c)/5) - 3·c = 0

4·a/5 - 16·c/5 = 0----> a - 4·c = 0---> a = 4·c

(4·c)·x - y·(4·c + c)/5 + c·z + (2·(4·c) - 3·c)/5 = 0

4·c·x - c·y + c·z + c = 0

pongo c = 1:

4·1·x - 1·y + 1·z + 1 = 0---> 4·x - y + z + 1 = 0

Determinazione piano γ

parallelo al piano α : x + y - 3·z + d = 0, passante per C [1, 1, -3]

1 + 1 - 3·(-3) + d = 0---> d + 11 = 0---> d = -11

x + y - 3·z - 11 = 0

Determinazione di un punto D del piano :

4·x - y + z + 1 = 0 con x = 3 ed y = 11 e calcolo sua distanza da

x + y - 3·z - 11 = 0

4·3 - 11 + z + 1 = 0---> z + 2 = 0----> z = -2

D [3, 11, -2]

d = ABS(3 + 11 - 3·(-2) - 11)/√(1^2 + 1^2 + (-3)^2)

d = 9/√11 anche: d = 9·√11/11