Domande integrale indefinito:

@cmc Grazie mille! Mi rimane un dubbio sul perché non si possa ad esempio considerare un unione di intervalli?

@Fede.uwu perchè come dice @cmc l'ipotesi chiave è la continuità, senza la quale non si potrebbe applicare il teorema di Lagrange. Se il dominio $D$ è un'unione di intervalli disgiunti, ad esempio $D = I_1 \cup I_2$, la proprietà di caratterizzazione delle primitive, ovvero tutte le primitive di una funzione differiscano tra loro solo per una singola costante globale $C$ decade. Una funzione la cui derivata è nulla su tutto $D$ non è necessariamente una costante globale, ma è una funzione localmente costante.

Considera ad esempio $D = (0, 1) \cup (2, 3)$ e la funzione $f(x) = 0$. Le possibili primitive $F(x)$ devono soddisfare $F'(x) = 0$. Una possibile primitiva è:

$$F(x) = \begin{cases} C_1 & \text{se } x \in (0, 1) \\ C_2 & \text{se } x \in (2, 3) \end{cases}$$
Se $C_1 \neq C_2$, la funzione $F(x)$ non è una costante nel senso tradizionale del termine, pur avendo derivata nulla in ogni punto del suo dominio. In questo scenario, l'espressione $F(x) + C$ non descriverebbe più la totalità delle primitive, poiché si potrebbero sommare costanti diverse su intervalli diversi. Questo renderebbe ambigua la definizione di integrale indefinito e complicherebbe l'applicazione del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

L'integrale di Riemann li considera purché non si è in presenza di discontinuità di 2° tipo. In tal caso intervengono gli integrali impropri.

Le primitive possono essere definite in una unione di più intervalli, esempio:

dico che log|x| è una primitiva di 1/x 

Oss. f(x) = 1/x è definita in (-∞,0) U (0, +∞) due intervalli distinti.

F(x) = log|x| significa:

• per x > 0 log|x| = log(x) ⇒ F'(x) = 1/x cioè f(x)
• per x < 0 log|x| = log(-x) ⇒ F'(x) = 1/x cioè f(x)

https://www.wolframalpha.com/input?i=derivative+log%7Cx%7C

Riferimento: Edoardo Balducci.

Perfetto, quanto da te affermato costringe ad aggiungere una ipotesi importante nel teorema delle primitive. L'ipotesi è che f(x) deve essere definita in un singolo intervallo, altrimenti di "c" ve ne possono essere più di uno. 

Esempio la F(x) così definita

$ F(x) = \begin{cases} log(x)+ 5 \; se \; x > 0 \\ log(-x) + 7 \; se \; x < 0 \end{cases}$       è una primitiva della funzione f(x) = 1/x.
Questo caso dimostra che le "c" dovrebbero essere due se vogliamo rispettare l'affermazione "tutte e sole".

La cosa più intelligente da fare è non scrivere l'inutile $+c$.