Per questa equazione bell'incognira x, stufia il segno delle radice al variare drl parametro in R

2a x^2 - 2x + 1 = 0

Delta = 4 - 4*2a*1 >= 0

1 - 2a >= 0

a <= 1/2 radici reali

La somma delle radici é 1/a

il prodotto é 1/(2a)

Quindi se a > 0

somma e prodotto delle radici sono positive

le radici sono positive per 0 < a < 1/2

per a = 0 si ha -2x + 1 = 0

e l'unica radice é positiva.

Per a < 0 il prodotto delle radici é negativo

( radici discordi ) e la somma é negativa

( la radice negativa ha il valore assoluto maggiore )

Regola di Cartesio:

"In ogni equazione di secondo grado con radici reali α ≤ β, ad ogni variazione V è associata una radice positiva, ad ogni permanenza P una radice negativa, se la permanenza P precede la variazione V allora la radice negativa è maggiore in modulo, della radice positiva. Se invece la variazione V  precede la permanenza P, la radice positiva è maggiore  del modulo della radice negativa"

Abbiamo una variazione finale (quindi -2 ed 1) V

Quindi :

2·a ≠ 0----> a ≠ 0

per avere una equazione di secondo grado

Δ/4 ≥ 0 per avere radici reali

Nel nostro caso: (-1)^2 - 2·a ≥ 0----> 1 - 2·a ≥ 0

a ≤ 1/2

Quindi, se risulta: 0 < a ≤ 1/2 abbiamo 2 variazioni V quindi 2 radici positive reali

Se risulta a<0 abbiamo 1 permanenza ed una variazione (a seguire):

quindi il modulo della radice negativa sarà maggiore della radice positiva, cioè si verificherà:

ABS(α) > β

verifichiamo quanto detto numericamente:

a = 1/2

2·(1/2)·x^2 - 2·x + 1 = 0----> x^2 - 2·x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0----> α = β = 1

a = 1/4

2·(1/4)·x^2 - 2·x + 1 = 0-----> x^2/2 - 2·x + 1 = 0

Risolvo:

x = 2 - √2 ∨ x = √2 + 2

x = 3.414213562 ∨ x = 0.5857864376  due radici positive

a = - 1/2

2·(- 1/2)·x^2 - 2·x + 1 = 0----> - x^2 - 2·x + 1 = 0

risolvo:

x = - √2 - 1 ∨ x = √2 - 1

x = -2.414213562 ∨ x = 0.4142135623

Si ha:

ABS(α) > β

714)

3x^2 - 4ax - a^2 = 0;

formula ridotta con b/2 = 4a/2 = 2a;

x = [+ 2a +- radice(4a^2 + 3a^2)] / 3;

x = [+2a +- radice(7a^2)] / 3;

x1 = [2a + a radice(7)] / 3 = a * [2 + radice(7)] /3;

x2 = [2a - a radice(7)] / 3 = a * [2 - radice(7)] /3

per avere radici reali distinte deve essere 7a^2 > 0;

7a^2 > 0 per ogni valore reale di a; a diverso da 0;

x1 = a * (2 + 2,646)/ 3 = a * (+ 1,549);

x1 > 0 , se a > 0;

x1 < 0 , se a < 0;

x2 = a * (2 - 2,646)/ 3 = a * (- 0,215);

x2 > 0, se a < 0;

x2 < 0 se  a > 0; 

se a = 0, le due radice coincidono, x1 = x2 = 0

3x^2 = 0;

x = 0.

ciao @elidelevi

x^2 + 2·b·x + (2 + b^2) = 0

Per la realtà delle radici con α ≤ β si deve avere:

Δ/4 ≥ 0

per cui:

b^2 - 1·(2 + b^2) ≥ 0-----> -2 ≥ 0

Quindi non è applicabile la Regola di Cartesio

----------------------------------

La funzione associata al 1° membro:

y = x^2 + 2·b·x + (2 + b^2)

Risulta per ogni valore di b sempre positiva:

x = - 2·b/2-------> x = -b

per tale valore:

y = (-b)^2 + 2·b·(-b) + (2 + b^2)

y = 2 

V [-b,2]  (vertice parabola)

è sempre positivo : quindi non si può parlare di radici.

Δ/4 ≥ 0 per avere radici reali con α ≤ β le due radici

(- 2·a)^2 - 3·(- a^2) ≥ 0-----> 7·a^2 ≥ 0

Vera per ogni a!

Per a=0 si ha:  α = β = 0

Per a<0 si ha nell'ordine :

1 P ed 1V

Quindi: ABS(α) > β  ossia la radice negativa  ha modulo maggiore della radice positiva.

Esempio:

a = -1

3·x^2 - 4·(-1)·x - (-1)^2 = 0----> 3·x^2 + 4·x - 1 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = - √7/3 - 2/3 ∨ x = √7/3 - 2/3----> x = -1.548583770 ∨ x = 0.2152504370

Per a>0 si ha nell'ordine:

1V ed 1P

Quindi:

β > ABS(α)

Esempio:

a=1

3·x^2 - 4·x - 1 = 0

risolvo ed ottengo: x = 2/3 - √7/3 ∨ x = √7/3 + 2/3

(x = -0.2152504370 ∨ x = 1.548583770)

Determinare in base alla Regola di Cartesio i valori di K per cui le due radici sono concordi

Siccome abbiamo una variazione V iniziale occorre una variazione finale V. Dobbiamo innanzitutto assicurarci la realtà delle due radici α e β:

Δ/4 ≥ 0

(-4)^2 - 4·(- 3·k) ≥ 0----> 12·k + 16 ≥ 0---> k ≥ - 4/3

In aggiunta a tale vincolo bisogna mettere - 3·k > 0 per avere due variazioni e quindi 2 radici positive.

{k ≥ - 4/3

{- 3·k > 0

quindi: [- 4/3 ≤ k < 0] è la soluzione del problema proposto

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Verifiche:

k = - 4/3

4·x^2 - 8·x - 3·(- 4/3) = 0---> 4·x^2 - 8·x + 4 = 0

4·(x - 1)^2 = 0-------> α = β = 1

k = -1

4·x^2 - 8·x + 3 = 0

x = 3/2 ∨ x = 1/2

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Se k > 0 avremmo avuto due radici  discordi

Es. k = 4/3

4·x^2 - 8·x - 4 = 0

risolvo:

x = 1 - √2 ∨ x = √2 + 1

(x = -0.4142135623 ∨ x = 2.414213562: β > ABS(α) )

Determinare in base alla regola di Cartesio i valori reali di a per cui l'equazione proposta abbia radici α e β discordi.

Δ/4 ≥ 0 per la realtà:

1^2 - (2·a - 1)·(-38) ≥ 0

76·a - 37 ≥ 0----> a ≥ 37/76

Siccome abbiamo una variazione V finale, occorre inoltre avere una permanenza P iniziale.

Quindi sistema:

{a ≥ 37/76

{2·a - 1 > 0

risolvo: a > 1/2

Es: a = 1

x^2 + 2·x - 38 = 0

Risolvo:

x = - √39 - 1 ∨ x = √39 - 1

(x = -7.244997998 ∨ x = 5.244997998  : 

ABS(α) > β perché la permanenza P precede la variazione)