Per favore mi potere aiutare con l'esercizio 4 grazie

Problema:

Studia il fascio di rette di equazione $x-4ay+2ax+2=0$ e trova per quali valori di $a$ si ha una retta:

a. con coefficiente angolare positivo;

b. che interseca l'asse $x$ in punti di ascissa negativa;

c. perpendicolare alla retta che passa per $(0,1)$ e $(-2,3)$.

Soluzione:

Rivedi i conti.

Per il centro del fascio basta riscrivere la retta come $x+2+2a(-2y+x)=0$, mettendo a sistema le due rette trovate si individua il centro.

Suppongo $a \in \mathbb{R}$.

Conviene riscrivere la retta in forma esplicita:

$x(2a+1)-4ay+2=0$

$y=\frac{x(2a+1)}{4a} +\frac{1}{2a}$

Il coefficiente angolare è $m=\frac{2a+1}{4a}$.

a. $m>0$ quando $\frac{2a+1}{4a}>0$, ossia quando $a<\frac{-1}{2} \cup a>0$. 

b. Il fascio interseca l'asse delle ascisse quando per $y=0$, quindi quando $x(2a+1)+2=0$

$x=\frac{-2}{2a+1}$, questa quantità è minore di $0$ quando $2a+1>0$ visto che il numeratore è negativo. 

$2a+1>0 \implies a>-\frac{1}{2}$.

c. La retta passante per i punti assegnati è $y-1=(\frac{2}{-2})(x-0)$, quindi $m'=-1$.

Due rette sono perpendicolari tra loro quando il coefficiente di una è l'antireciproco dell'altra, ossia quando $m=\frac{-1}{m'}$, in questo caso quando $m=1$.

$2a+1=4a$

$2a=1$

$a=\frac{1}{2}$.

x - 4·a·y + 2·a·x + 2 = 0

riscrivo:

2·a·(x - 2·y) + x + 2 = 0

Metto a sistema le rette generatrici:

{x - 2·y = 0

{x + 2 = 0

Risolvo ed ottengo un fascio di rette proprio il cui centro è:

[x = -2 ∧ y = -1]----> [-2, -1]

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Esplicito il fascio di rette:

y = x·(2·a + 1)/(4·a) + 1/(2·a)

deve essere: m = (2·a + 1)/(4·a) > 0

Risolvo ed ottengo: a < - 1/2 ∨ a > 0

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Risolvo:

{x - 4·a·y + 2·a·x + 2 = 0

{y = 0

in x: x = - 2/(2·a + 1), impongo: x < 0

- 2/(2·a + 1) < 0

risolvo: a > - 1/2

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la retta che passa per [0, 1] e [-2, 3]

deve avere equazione: y = m·x + q con q = 1

Quindi:

3 = m·(-2) + 1-----> m = -1

y = 1 - x

quindi: 

(2·a + 1)/(4·a) = 1

risolvo: a = 1/2

y = x·(2·(1/2) + 1)/(4·(1/2)) + 1/(2·(1/2))

y = x + 1

(si poteva imporre il passaggio per il centro del fascio: vedi figura sotto)