[Risolto] per favore aiutatemi

@ciao_

Ciao di nuovo.

(k - 1)·x^2 + (1 - 3·k)·x + (1 + k)·y + (k - 1) = 0

studiamo il fascio in questione. Riscriviamolo in modo di evidenziare le parabole generatrici del fascio:

- x^2 + x + y - 1 + k·(x^2 - 3·x + y + 1) = 0

Quindi:

{ - x^2 + x + y - 1 = 0

{x^2 - 3·x + y + 1 = 0

Quindi :

{y = x^2 - x + 1

{y = - x^2 + 3·x - 1

Risolviamo il sistema delle due parabole per individuare i punti base del fascio.

x^2 - x + 1 = - x^2 + 3·x - 1

x^2 - x + 1 - (- x^2 + 3·x - 1) = 0-------> 2·x^2 - 4·x + 2 = 0

2·(x - 1)^2 = 0-----> x = 1 e quindi

y = 1^2 - 1 + 1----> y = 1

Quindi  un solo punto base: [x = 1 ∧ y = 1]

Determiniamo la retta tangente nel punto trovato:

(y + 1)/2 = 1·x - (x + 1)/2 + 1 (formule di sdoppiamento)

y = x

Dal fascio di parabole si ottiene per k=-1 l'annullamento del coefficiente di y e quindi:

(k - 1)·x^2 + (1 - 3·k)·x + (1 + k)·y + (k - 1) = 0

(-1 - 1)·x^2 + (1 - 3·(-1))·x + (1 + -1)·y + (-1 - 1) = 0

- 2·x^2 + 4·x - 2 = 0-----> - 2·(x - 1)^2 = 0-----> x = 1

Cioè il fascio degenera nella retta x=1 verticale.

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Esplicitiamo il fascio in y:

y = x^2·(1 - k)/(k + 1) + x·(3·k - 1)/(k + 1) - (k - 1)/(k + 1)

per cui: a = (1 - k)/(k + 1); b = (3·k - 1)/(k + 1); c = (1 - k)/(k + 1)

quindi deve essere: k + 1 ≠ 0------> k ≠ -1

L'asse di una parabola ha equazione: 

x = - b/(2·a)

x = - 1/2·((3·k - 1)/(k + 1))/((1 - k)/(k + 1))----> x = (3·k - 1)/(2·(k - 1))

(3·k - 1)/(2·(k - 1)) = 2----> k = 3

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Metto a sistema:

{y = -x

{(k - 1)·x^2 + (1 - 3·k)·x + (1 + k)·y + (k - 1) = 0

quindi:

(k - 1)·x^2 + (1 - 3·k)·x + (1 + k)·(-x) + (k - 1) = 0

x^2·(k - 1) - 4·k·x + k - 1 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(- 2·k)^2 - (k - 1)^2 = 0-----> 3·k^2 + 2·k - 1 = 0

k = 1/3 ∨ k = -1 (il secondo si esclude per i motivi di sopra)

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{y = x + 3

{3·x + y - 11 = 0

risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 5]

(k - 1)·2^2 + (1 - 3·k)·2 + (1 + k)·5 + (k - 1) = 0

4·k + 2 = 0-----> k = - 1/2

Il fascio di parabole 457
* Γ(k) ≡ (k - 1)*x^2 - (3*k - 1)*x + (k + 1)*y + (k - 1) = 0
di pendenza
* ∂y/∂x = m(x, k) = (2*(1 - k)*x + (3*k - 1))/(k + 1)
presenta tre casi particolari per k in {- 1, 1/3, 1} e uno generale per k != 1.
La ricerca degli eventuali punti base si fa con valori di k non particolari
* Γ(2) ≡ y = - (x^2 - 5*x + 1)/3
* Γ(3) ≡ y = - (x^2 - 4*x + 1)/2
Risolvente
* (x^2 - 4*x + 1)/2 - (x^2 - 5*x + 1)/3 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2/6 = 0
cioè c'è un solo punto base in T(1, 1), doppio, che quindi dev'essere di tangenza.
La pendenza in T è
* m(1, k) = (2*(1 - k)*1 + (3*k - 1))/(k + 1) = 1
quindi la comune tangente è la bisettrice dei quadranti dispari.
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* Γ(- 1) ≡ - 2*x^2 + 4*x - 2 = 0 ≡ - 2*(x - 1)^2 = 0
parabola degenere su due rette coincidenti (la x = 1 doppia).
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* Γ(1/3) ≡ y = (x^2 + 1)/2
parabola non degenere, di ordinata naturale per ascisse intere dispari.
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* Γ(1) ≡ y = x
parabola degenere sull'unica retta bisettrice dei quadranti dispari.
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* Γ(k != 1) ≡ (k - 1)*x^2 - (3*k - 1)*x + (k + 1)*y + (k - 1) = 0 ≡
≡ y = - (x^2 - ((3*k - 1)/(k + 1))*x + (k - 1)/(k + 1)) ≡
≡ y = (5*k^2 - 6*k + 5)/(4*(k + 1)^2) - (x - (3*k - 1)/(2*(k + 1)))^2
da questa forma si rilevano:
* apertura a = - 1 < 0, e concavità rivolta verso y < 0;
* vertice V((3*k - 1)/(2*(k + 1)), (5*k^2 - 6*k + 5)/(4*(k + 1)^2));
* V è il cursore della parabola y = x^2 - x + 1/2 di apertura a = 1, quindi non del fascio.
SE&O