Ciao a tutti, mi aiutereste a capire come risolvere quest'esercizio? Se possibile non vorrei la risoluzione, ma un aiuto a come procedere da sola.
Ecco il testo: "Mostrare che la tangente alla curva $ y=x^3 $ in un qualsiasi punto $ (a, a^3) $ interseca nuovamente la curva in un punto in cui la pendenza è quattro volte la pendenza in $ (a, a^3) $.
Grazie a tutti 🤗
58
punti
Livello 1
A) La pendenza di
* Γ ≡ y = x^3
è
* m(x) = 2*x^2
Chiedo scusa, ma la pendenza della tangente non è il significato geometrico della derivata prima in un punto?
Per la regola delle potenze $ \frac{d}{dx}\left (x^{\alpha}\right)={\alpha}x^{{\alpha}-1} $, non dovrebbe essere $f'(x)=3x^2 $ ?
@antonella_falzea
GRAZIE! Errore di dito fu, ovviamente è come dici tu.
Non guardare la tastiera è un conto, ma non vedere quello su cui si fa Copia/Incolla è imperdonabile. Non per giustificarmi, ma la triste realtà è che oltre al corpo anche la mente dopo 82 anni si è un po' usurata. Ti chiedo scusa.
🤣 nessun problema! Errare è umano, siccome sto preparando analisi (se non si è capito sto studiando le derivate), non vorrei avessi capito io male e imparato una regola in modo errato, per questo l'ho fatto notare.
dati
y(x) = x³
P(a,a³)
dimostriamo la tesi.
Risolviamo il sistema retta/cubica
{y=3a²(x-a)+a³
{y=x³
per confronto. x³=3a²(x-a)+a³ che ammette due reali soluzioni (la prima ha molteplicità 2)
i) x=a che è il punto di tangenza P(a,a³)
ii) x=-2a che è il nuovo punto Q(-2a,-8a³)
y'(x) = 3x² ⇒ y'(-2a) = 4*3a² che corrisponde a 4 volte la pendenza calcolata nel punto t.
y'(xP) = 4*y'(xQ)
1540
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Livello 1
Ciao. Come vuoi tu! Aiuto:
Nel punto (a,a^3) calcoli la retta tangente. Trovata, la metti a sistema con la cubica y=x^3. Trovi il punto di intersezione. Valuti la derivata della funzione in tale punto e quindi il coefficiente angolare della nuova tangente. Confronta i due coefficienti angolari trovati: quest'ultimo è 4 volte il precedente.
Esempio:
77905
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Genius II
grazie mille, ci provo e ti faccio sapere 🙂
COME SAREBBE "Grazie a tutti"? QUESTO DISCRIMINA NOI CHE RISPONDIAMO!
Appena va in vigore la legge Zan, ti denuncio.
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COME SAREBBE "in un qualsiasi punto"? QUESTO E' FALSO!
La tangente nell'origine è orizzontale e sulla cubica non esistono altri punti con pendenza nulla.
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A) La pendenza di
* Γ ≡ y = x^3
è
* m(x) = 3*x^2
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B) Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette
* x = u, parallela all'asse y;
* y = v + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
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B1) Per il punto T(a, a^3) passano tutte e sole le rette
* x = a, parallela all'asse y;
* y = a^3 + k*(x - a), per ogni pendenza k reale.
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B2) La retta per T(a, a^3) con pendenza
* k = m(a) = 3*a^2
è la t tangente Γ.
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C) Il sistema dei punti comuni
* t & Γ
è di terzo grado, ma due dei punti comuni sono in T per costruzione; il terzo punto comune sia S(b, b^3) ed ivi Γ ha pendenza m(b) = 3*b^2.
Ti si chiede di dimostrare che
* m(b)/m(a) = 3*b^2/(3*a^2) = (b/a)^2 = 4
cioè che
* b = 2*a
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ATTENZIONE: ritiro con molte scuse il secondo "COME SAREBBE".
Nell'origine la tangente di flesso ha un contatto triplo, non doppio: quindi, sia pure con parecchi stiracchiamenti mentali, la relazione è valida.
Quello che non è valido è "interseca nuovamente".
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Genius I
Ti chiedo scusa, la prossima volta ringrazierò anticipatamente solo chi risponderà 🤣 .
Postato da: @exprof
Quello che non è valido è "interseca nuovamente"
Ho riportato il testo dell'esercizio dal mio libro! Magari c'è un errore.
Postato da: @exprof
Nell'origine la tangente di flesso ha un contatto triplo, non doppio: quindi, sia pure con parecchi stiracchiamenti mentali, la relazione è valida
Beh, l'ho notato subito anch'io graficando la funzione e la tangente.
