[Risolto] passaggio forma canonica ellisse

PERCHE' NO.
Scusa la risposta secca, ma è stato istintivo: nel 1957, durante il mio primo anno di Università mi furono illustrate le varie forme normali delle equazioni, da adottare secondo lo scopo da conseguire.
La forma normale canonica è quella "espressione = 0", ad esempio
* Γ ≡ 3*x^2 + 2*x*y + 3*y^2 + 2*x - 2*y - 3 = 0
Le forme normali standard sono quelle "espressioneSenzaTermineNoto = termineNoto", ad esempio la forma matriciale di un sistema lineare
* A.x = b
ma anche
* (1/2)*x^2 + y^2 = 1
LO SO CHE ADESSO TUTTI I LIBRI CHIAMANO CANONICA LA FORMA STANDARD, LO SO.
------------------------------
Immagino che la tua domanda sia intesa a conoscere quali trasformazioni riducono una forma all'altra.
Se non è così puoi smettere di leggere e, se vuoi, puoi aggiungere venti parole di chiarimento.
Se invece è così, ti mostro come fare.
------------------------------
A) Calcolare il gradiente e azzerarlo.
Se il sistema non ha soluzione la conica Γ
* Γ0 ≡ p(x, y) = 3*x^2 + 2*x*y + 3*y^2 + 2*x - 2*y - 3 = 0
è una parabola (e non riguarda questa Γ); se no la soluzione C è il centro di Γ.
La prima trasformazione è traslare in C l'origine del riferimento Oxy.
---------------
* nabla[p(x, y)] = {2*(3*x + y + 1), 2*(x + 3*y - 1)}
* (3*x + y + 1 = 0) & (x + 3*y - 1 = 0) ≡ C(- 1/2, 1/2)
Con
* x = X - 1/2
* y = Y + 1/2
si ha
* Γ0 ≡ 3*(X - 1/2)^2 + 2*(X - 1/2)*(Y + 1/2) + 3*(Y + 1/2)^2 + 2*(X - 1/2) - 2*(Y + 1/2) - 3 = 0 ≡
≡ Γ1 ≡ 3*X^2 + 2*X*Y + 3*Y^2 - 4 = 0
------------------------------
B) Applicare una rotazione di θ che azzeri il termine rettangolare.
NOTA: dovrei scrivere (ξ, η), ma per evitare troppi Copia/Incolla uso (x, y) come ha fatto l'autore dell'esercizio; sia chiaro che non si tratta del riferimento originario.
* X = x*cos(θ) - y*sin(θ)
* Y = x*sin(θ) + y*cos(θ)
si ha
* Γ1 ≡ 3*(x*cos(θ) - y*sin(θ))^2 + 2*(x*cos(θ) - y*sin(θ))*(x*sin(θ) + y*cos(θ)) + 3*(x*sin(θ) + y*cos(θ))^2 - 4 = 0 ≡
≡ Γ2(θ) ≡ (3 + sin(2*θ))*x^2 + 2*cos(2*θ)*x*y + (3 - sin(2*θ))*y^2 - 4 = 0
da cui, per
* (2*cos(2*θ) = 0) & (- π/2 <= θ <= π/2) ≡ θ = ± π/4
si trovano le due possibili forme ridotte
---------------
* Γ2(- π/4) ≡ (3 + sin(- π/2))*x^2 + 2*cos(- π/2)*x*y + (3 - sin(- π/2))*y^2 - 4 = 0 ≡
≡ 2*x^2 + 0*x*y + 4*y^2 = 4 ≡
≡ x^2/2 + y^2 = 1
---------------
* Γ2(+ π/4) ≡ (3 + sin(π/2))*x^2 + 2*cos(π/2)*x*y + (3 - sin(π/2))*y^2 - 4 = 0 ≡
≡ 4*x^2 + 0*x*y + 2*y^2 = 4 ≡
≡ x^2 + y^2/2 = 1