Non riesco a individuare il procedimento da utilizzare per portare a termine l’esercizio. Ringrazio in anteprima 🙂
Date due parabole di equazione y=kx^2+kx+k, determina per quale valore di k sono tangenti alla retta di equazione y=3x. scrivi le equazioni delle parabole corrispondenti ai valori trovati e calcola l’area della parte di piani individuata dalle tangenti a esse nel punto di ascissa 0 e dall’asse delle y.
Ciao! L'esercizio apparentemente potrebbe sembrare complesso, ma ti dimostrerò il contrario! Innanzitutto noterai subito che l'equazione delle parabole non è altro che l'equazione di un fascio di parabole, non chiede di analizzarlo, però facciamolo lo stesso:
ANALISI DEL FASCIO
data l'equazione del fascio Fp: y=kx^2+kx+k possiamo anche scriverla k(x^2+x+1)-y=0 e ponendo k=0 avremo la generatrice P1: y=0 che è una parabola degenere; ponendo invece k->infinito avremo la generatrice P2: x^2+x+1=0 che non ha rappresentazione grafica perché non è reale.
VALORI DI K
Per trovare i valori di k mettiamo a sistema l'equazione del fascio di parabole e della retta (y=3x) e attraverso il metodo di sostituzione otteniamo un'equazione di 2 grado. Ponendo poi il delta (discriminante) uguale a zero (condizione di tangenza) otterremo una nuova equazione di 2 grado con variabile k, le soluzioni di tale equazione saranno i valori di k, che sono k1=-3 e k2=1.
EQUAZIONI PARABOLA
Consideriamo i valori di K1=-3 e K2=1 e sostituendo tali valori nell'equazione del fascio otterremo le equazioni delle due parabole δ1: y=-3x^2-3x-3 e δ2: y=x^2+x+1.
EQUAZIONI RETTE TANGENTI
Consideriamo t1 e t2, rispettivamente le rette tangenti di δ1 e δ2, per trovare le loro equazioni dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti di tangenza, sapendo che hanno entrambi ascissa 0. Per trovare i valori delle ordinate sostituiamo nelle equazioni delle rispettive parabole alle quali appartengono, i valori delle ascisse. Otterremo T1(0;-3) e T2(0;1).
Adesso consideriamo la generica retta passante per T1, ottenendo il fascio di rette F1: y+3=m(x-0)-> y+3=mx e senza analizzarlo lo metto a sistema con la parabola, ottenendo un'equazione di secondo il cui delta deve essere uguale a zero. Ponendo il delta uguale a 0 otteniamo un'altra equazione di 2 grado con variabile m, la cui soluzione è m1=m2=-3. Sostituendo tale valore nell'equazione del fascio F1 avremo l'equazione della prima tangente T1:y=-3x-3. Seguendo lo stesso ragionamento con la seconda retta tangente T2, ma con m1=m2=1, ottengo T2: y=X+1.
AREA
Questo passaggio lo lascio a te, ma ti do un suggerimento, due vertici della figura, che è un triangolo, non sono altro che i punti di tangenza T1 e T2.