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[Risolto] PARAMETRO K

  

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Non riesco a individuare il procedimento da utilizzare per portare a termine l’esercizio. Ringrazio in anteprima 🙂

Date due parabole di equazione y=kx^2+kx+k, determina per quale valore di k sono tangenti alla retta di equazione y=3x. scrivi le equazioni delle parabole corrispondenti ai valori trovati e calcola l’area della parte di piani individuata dalle tangenti a esse nel punto di ascissa 0 e dall’asse delle y.

F05B5A3B 3405 4AC8 8E23 FD327359C3C5

 

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Ciao! L'esercizio apparentemente potrebbe sembrare complesso, ma ti dimostrerò il contrario! Innanzitutto noterai subito che l'equazione delle parabole non è altro che l'equazione di un fascio di parabole, non chiede di analizzarlo, però facciamolo lo stesso:

ANALISI DEL FASCIO

data l'equazione del fascio Fp: y=kx^2+kx+k possiamo anche scriverla k(x^2+x+1)-y=0 e ponendo k=0 avremo la generatrice P1: y=0 che è una parabola degenere; ponendo invece k->infinito avremo la generatrice P2: x^2+x+1=0 che non ha rappresentazione grafica perché non è reale. 

VALORI DI K

Per trovare i valori di k mettiamo a sistema l'equazione del fascio di parabole e della retta (y=3x) e attraverso il metodo di sostituzione otteniamo un'equazione di 2 grado. Ponendo poi il delta (discriminante) uguale a zero (condizione di tangenza) otterremo una nuova equazione di 2 grado con variabile k, le soluzioni di tale equazione saranno i valori di k, che sono k1=-3 e k2=1.

EQUAZIONI PARABOLA

Consideriamo i valori di K1=-3 e K2=1 e sostituendo tali valori nell'equazione del fascio otterremo le equazioni delle due parabole δ1: y=-3x^2-3x-3 e δ2: y=x^2+x+1.

EQUAZIONI RETTE TANGENTI 

Consideriamo t1 e t2, rispettivamente le rette tangenti di δ1 e δ2, per trovare le loro equazioni dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti di tangenza, sapendo che hanno entrambi ascissa 0. Per trovare i valori delle ordinate sostituiamo nelle equazioni delle rispettive parabole alle quali appartengono, i valori delle ascisse. Otterremo T1(0;-3) e T2(0;1).

Adesso consideriamo la generica retta passante per T1, ottenendo il fascio di rette F1: y+3=m(x-0)-> y+3=mx e senza analizzarlo lo metto a sistema con la parabola, ottenendo un'equazione di secondo il cui delta deve essere uguale a zero. Ponendo il delta uguale a 0 otteniamo un'altra equazione di 2 grado con variabile m, la cui soluzione è m1=m2=-3. Sostituendo tale valore nell'equazione del fascio F1 avremo l'equazione della prima tangente T1:y=-3x-3. Seguendo lo stesso ragionamento con la seconda retta tangente T2, ma con m1=m2=1, ottengo T2: y=X+1.

AREA 

Questo passaggio lo lascio a te, ma ti do un suggerimento, due vertici della figura, che è un triangolo, non sono altro che i punti di tangenza T1 e T2.




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@giorgii

Ciao. Metto a sistema:

{y = k·x^2 + k·x + k

{y = 3·x

risolvo per sostituzione:

3·x = k·x^2 + k·x + k

k·x^2 + k·x + k - 3·x = 0

k·x^2 + x·(k - 3) + k = 0

condizione di tangenza: Δ = 0

(k - 3)^2 - 4·k^2 = 0------> - 3·k^2 - 6·k + 9 = 0----> k^2 + 2·k - 3 = 0

(k - 1)·(k + 3) = 0-------> k = -3 ∨ k = 1

Parabole tangenti:

y = (-3)·x^2 + (-3)·x + (-3)------->y = - 3·x^2 - 3·x - 3

y = 1·x^2 + 1·x + 1--------->y = x^2 + x + 1

Punti di tangenza:

(-3)·x^2 + x·(-3 - 3) + -3 = 0------->- 3·x^2 - 6·x - 3 = 0---->- 3·(x + 1)^2 = 0

x = -1

y = - 3·(-1)^2 - 3·(-1) - 3---->y = -3------> (-1,-3)

1·x^2 + x·(1 - 3) + 1 = 0------> x^2 - 2·x + 1 = 0----->(x - 1)^2 = 0----->x = 1

y = 1^2 + 1 + 1----> y = 3------> (1,3)

------------------------------------------------

tangenti alle due parabole in x=0

y = - 3·0^2 - 3·0 - 3-----> y = -3

y = 0^2 + 0 + 1--------> y = 1

y = - 3·x^2 - 3·x - 3------> y'=- 6·x - 3---> y'(0)=-3  ( cioè - 6·0 - 3=-3)

tangente in (0,-3)  ---->y + 3 = - 3·(x - 0)-----> y = - 3·x - 3

y = x^2 + x + 1------> y'=2·x + 1-----> y'(0)=2·0 + 1=1

tangente in (0,1)-----> y - 1 = 1·(x - 0)----> y = x + 1

Le due tangenti formano un triangolo con l'asse delle y:

{y = - 3·x - 3

{y = x + 1

risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 0]

Base triangolo con i punti su y (cioè x=0):ABS(1 - -3) = 4

Altezza triangolo con l'ascissa del punto trovato sopra: ABS(0 - 1) = 1

Area triangolo così definito=1/2·4·1 = 2

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