[Risolto] parametro a

Se a é negativo   l'equazione diventa e^x = -|a| x

e^x + |a| x che sicuramente ammette una soluzione   x < 0 perché

 

lim_x->-oo  ( e^x + |a| x) = -oo

lim_x->+oo  (e^x + |a| x ) = +oo

 

d/dx ( e^x + |a| x) = e^x + |a| => sempre positiva => funzione sempre crescente.

 

 

Per a = 0 non c'é soluzione, mentre per a  > 0

 

f(x,a) = e^x - ax    che tende a +oo per x -> -oo e a +oo per x->+oo

 

darà luogo a 2 intersezioni con l'asse x se il minimo assoluto é negativo e altrimenti nessuna

 

f'(x) = e^x - a = 0 =>  e^x = a =>  x = ln a

 

f''(x) = e^x  > 0   => é presente un minimo

 

m = e^(ln a) - a ln a = a -a ln a = a ( 1 - ln a )

 

Essendo a > 0    dire m < 0    significa    1 - ln a < 0 =>   ln a > 1 =>  a > e

 

Per a = e la retta e l'esponenziale sono tangenti ed hano una sola intersezione

 

Riepilogando

 

a < 0      una soluzione

0 < a < e    nessuna soluzione

a = e       una soluzione

a > e       due soluzioni

 

 

 

 

 

 

 

L'equazione
* e^x = k*x
fa parte della vasta categoria di equazioni pseudo esponenziali/logaritmiche la cui soluzione non si esprime in funzioni elementari, ma richiede o il ricorso a metodi numerici anziché simbolici o, in termini simbolici, la funzione W(z) di Lambert eventualmente anche con W_n(z) n-ma continuazione analitica della funzione di Lambert (definita da: W(z) = la soluzione w dell'equazione z = w*e^w).
Vale a dire che la x NON si isola, come in tutte le equazioni in cui compare sia come potenza ("k*x") che come argomento di funzioni trascendenti ("e^x").
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Le soluzioni dell'equazione
* e^x = k*x
sono le ascisse delle intersezioni fra le curve:
A) y = e^x, l'esponenziale, positiva e crescente ovunque;
B) y = k*x, la retta per l'origine con ogni pendenza k reale.
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Fra le infinite soluzioni x = - W_n(- 1/k) [per ogni n intero relativo] quelle reali sono zero, una o due secondo che
* k < K: zero intersezioni; la retta B è ovunque al di sotto di A; k*x < e^x.
* k = K: una intersezione in X0; la retta B è tangente la curva A; k*x <= e^x.
* k > K: due intersezioni in (X1, X2) con (X1 < X0 < X2); la retta B è secante A.
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Il valore K è la pendenza di B (y' = k) alla tangenza (x = X); la pendenza di A è l'esponenziale stessa (y' = e^x).
Le pendenze si eguagliano per e^X = K, cioè X = ln(K).
D'altro canto, vale anche la e^X = K*X, cioè X = ln(K) + ln(X).
La soluzione del sistema
(X = ln(K)) & (X = ln(K) + ln(X)) ==> (K, X) = (e, 1)
specializza la distinzione di casi
per k < e: zero intersezioni; la y = k*x è ovunque al di sotto di y = e^x; k*x < e^x.
per k = e: una intersezione in (X = - W(- 1/e) = 1); la y = e*x è tangente la y = e^x; e*x = e^x.
per k > e: due intersezioni in X1 = - W(- 1/k) < - W(- 1/e) < X2 = - W_[-1](- 1/k); la y = k*x è secante la y = e^x.
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Vedi i grafici al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3De%5Ex%2Cy%3D2*x%2Cy%3De*x%2Cy%3D3*x%5D+x%3D-2to2%2Cy%3D0to6
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NOTA PERSONALE
Titolo significativo? Non direi proprio!
Che si tratti di qualcosa di parametrico è significativo, ma che il nome del parametro sia la metà del tuo pseudonimo, proprio no! Anzi io, per abitudine stratificata nei decennii, quando c'è un solo parametro reale lo chiamo k.
Si tratta di un'equazione di Lambert parametrica (v. http://www.bitman.name/math/article/173 ).
Io avrei intitolato: PUNTI COMUNI FRA ESPONENZIALE E RETTA PARAMETRICA.