[Risolto] Parallelogramma e la circonferenza

Partiamo dal principio che ABCD sia un parallelogramma ed otteniamo come prima cosa le:

Coordinate di D

Coefficiente angolare della retta passante per BC:

mBC = (2 - 1)/(5 - 2) = 1/3

Coefficiente angolare della retta passante per AB:

mAB = (2 - 0)/(5 - 3) = 1

Metto a sistema:

{retta passante per C di coefficiente angolare 1

{retta passante per A di coefficiente angolare 1/3

quindi:

{y - 1 = 1·(x - 2)

{y = 1/3·(x - 3)

cioè:

{y = x - 1

{y = x/3 - 1

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = -1]

D[0, -1] 

Quindi circonferenza passante per tre punti:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{3^2 + 0^2 + a·3 + b·0 + c = 0 passa per [3, 0]

{2^2 + 1^2 + a·2 + b·1 + c = 0 passa per [2, 1]

{0^2 + (-1)^2 + a·0 + b·(-1) + c = 0 passa per [0, -1]

Quindi:

{3·a + c = -9

{2·a + b + c = -5

{b - c = 1

risolvo ed ottengo: [a = -3 ∧ b = 1 ∧ c = 0]

x^2 + y^2 - 3·x + y = 0

Ciò conferma il fatto che sia una circonferenza passante per l'origine come in figura

AD è diametro della circonferenza in quanto la retta per AC ha coefficiente angolare pari a -1 quindi AC e DC sono fra loro perpendicolari.

 

x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0

passa per l'origine per cui manca il termine noto: (c=0)

{3^2 + 0^2 + a·3 + b·0 = 0 passa per A[3, 0]

{2^2 + 1^2 + a·2 + b·1 = 0 passa per C[2, 1]

Risolvo il sistema:

{a = -3

{2·a + b = -5

ed ottengo: [a = -3 ∧ b = 1]

Quindi circonferenza: x^2 + y^2 - 3·x + y = 0

da cui si riconosce che

[3/2,-1/2]

è il suo centro e raggio pari a: √((3/2)^2 + (- 1/2)^2 - c)

per c=0: r=√10/2 e quindi diametro pari a √10