[Risolto] Parabole e tangenti

La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v) rispetto alla conica
* Γ ≡ f(x, y) = 0
si ottiene per sdoppiamento dell'equazione rispetto a P.
Quindi rispetto a
* α ≡ y = - 2*x^2 + 16*x - 24 ≡ - 2*x^2 + 16*x - 24 - y = 0
è
* p(α, P) ≡ - 2*u*x + 16*(x + u)/2 - 24 - (y + v)/2 = 0 ≡
≡ y = 4*(4 - u)*x + (16*u - v - 48)
e rispetto a
* β ≡ y = x^2 - 11*x ≡ x^2 - 11*x - y = 0
è
* p(β, P) ≡ u*x - 11*(x + u)/2 - (y + v)/2 = 0 ≡
≡ y = (2*u - 11)*x - (11*u + v)
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I punti comuni alle due parabole sono le soluzioni del sistema
* α & β ≡ (y = - 2*x^2 + 16*x - 24) & (y = x^2 - 11*x) ≡
≡ B(1, - 10) oppure C(8, - 24)
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Per i tre poli
* A(- 3, 0), B(1, - 10), C(8, - 24)
le polari rispetto alla conica α sono
* p(α, A) ≡ y = 4*(4 - (- 3))*x + (16*(- 3) - 0 - 48) ≡ y = 28*x - 96
* p(α, B) ≡ y = 4*(4 - 1)*x + (16*1 - (- 10) - 48) ≡ y = 12*x - 22
* p(α, C) ≡ y = 4*(4 - 8)*x + (16*8 - (- 24) - 48) ≡ y = 104 - 16*x
e quelle rispetto alla conica β sono
* p(β, A) ≡ y = (2*(- 3) - 11)*x - (11*(- 3) + 0) ≡ y = 33 - 17*x
* p(β, B) ≡ y = (2*1 - 11)*x - (11*1 - 10) ≡ y = - 9*x - 1
* p(β, C) ≡ y = (2*8 - 11)*x - (11*8 - 24) ≡ y = 5*x - 64
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Le polari di B e C sono le richieste tangenti nei punti di intersezione
* p(α, B) ≡ y = 12*x - 22
* p(β, B) ≡ y = - 9*x - 1
* p(α, C) ≡ y = 104 - 16*x
* p(β, C) ≡ y = 5*x - 64
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Le polari di A(- 3, 0)
* p(α, A) ≡ y = 28*x - 96
* p(β, A) ≡ y = 33 - 17*x
invece sono secanti nei punti di tangenza delle richieste tangenti
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* p(α, A) & α ≡ (y = 28*x - 96) & (y = - 2*x^2 + 16*x - 24) ≡
≡ T1(3(√5 - 1), 12*(7*√5 - 15)) oppure T2(- 3(√5 + 1), - 12*(7*√5 + 15))
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* p(β, A) & β ≡ (y = 33 - 17*x) & (y = y = x^2 - 11*x) ≡
≡ T3(- 3 - √42, 84 + 17*√42) oppure T4(- 3 + √42, 84 - 17*√42)
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Le tangenti da A sono le congiungenti
* AT1 ≡ y = 4*(7 - 3*√5)*x + 12*(7 - 3*√5)
* AT2 ≡ y = 4*(7 + 3*√5)*x + 12*(7 + 3*√5)
* AT3 ≡ y = - (17 + 2*√42)*x - 3*(17 + 2*√42)
* AT4 ≡ y = - (17 - 2*√42)*x - 3*(17 + 2*√42)
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Circa la consegna "Rappresenta il tutto graficamente" immagino che gli sia scappata a sua insaputa perché otto rette e due parabole tutt'insieme fanno un paciugo del diavolo.
Io, perlomeno, non ci provo; se ci tieni vedi tu.

Non si legge bene. Mi confermi :

A(-3,0) ed y=x^2-11x ?

A me esce:

{y = x^2 - 11·x

{y = m·(x + 3)

per sostituzione:

m·(x + 3) = x^2 - 11·x

x^2 - 11·x - m·(x + 3) = 0----> x^2 - x·(m + 11) - 3·m = 0

Condizione tangenza: Δ = 0

(m + 11)^2 + 12·m = 0----> m^2 + 34·m + 121 = 0

risolvi ed ottieni:

m = - 2·√42 - 17 ∨ m = 2·√42 - 17

Quindi due tangenti.