[Risolto] Parabole e rettangolo inscritto

Ciao di nuovo.

Mettiamo a sistema:

{y = - x^2 + 8·x - 8

{y = k

e procediamo alla risoluzione mettendo anche dei paletti al valore che si può dare a k

Sostituendo si ottiene:

x^2 - 8·x + (8 + k) = 0

con Δ/4 = 4^2 - (8 + k)--------> Δ/4 = 8 - k

Il vertice della 1^ parabola è in corrispondenza di x=4 ed ha ordinata pari a:

y = - 4^2 + 8·4 - 8------> y = 8

Quindi il paletto per k è 8 - k > 0------> k < 8 

ASCISSE dei punti A e B (di ordinata pari a k)

x = 4 - √(8 - k)

x = 4 + √(8 - k)

Base rettangolo= AB

AB=2·√(8 - k) differenza fra le due ascisse!

Per calcolare l'altezza del rettangolo devi fare la differenza delle due funzioni:

(- x^2 + 8·x - 8) - (1/4·x^2 - 2·x + 3/4) = - 5·(x^2 - 8·x + 7)/4

Tale differenza la devi calcolare in corrispondenza dei valori di x trovati

- 5·((4 - √(8 - k))^2 - 8·(4 - √(8 - k)) + 7)/4=5·(k + 1)/4

che è ovviamente la stessa anche per il secondo:

- 5·((4 + √(8 - k))^2 - 8·(4 + √(8 - k)) + 7)/4= 5·(k + 1)/4

A questo punto imponi la condizione per trovare i benedetti valori di k:

2·(2·√(8 - k) + 5·(k + 1)/4) = 24

(8·√(8 - k) + 5·(k + 1))/2 = 24

8·√(8 - k) = 48 - 5·(k + 1)

8·√(8 - k) = 43 - 5·k

64·(8 - k) = (5·k - 43)^2

25·k^2 - 430·k + 1849 - (512 - 64·k) = 0

25·k^2 - 366·k + 1337 = 0 risolvi:

k = 191/25 ∨ k = 7

per k=191/25:

x = 4 - √(8 - 191/25)---------> x = 17/5

x = 4 + √(8 - 191/25)---------> x = 23/5

A(17/5, 191/25)  e B(23/5, 191/25)

Passi quindi alla seconda parabola: y = 1/4·x^2 - 2·x + 3/4

y = 1/4·(17/5)^2 - 2·(17/5) + 3/4------> y = - 79/25

C(17/5, - 79/25) e D(23/5, - 79/25)

Analogamente ottieni i vertici per k=7

@Beppe

Seguendo il procedimento richiesto

L'altezza del rettangolo è il segmento avente come estremi due punti di ascissa x= 4 + radice (8 - k), il primo sulla parabola con concavità verso il basso, il secondo sulla parabola con concavita verso l'alto. Avendo stessa ascissa, la distanza tra i due punti è la differenza delle ordinate

Quindi h= differenza delle ordinate delle due parabole, differenza calcolata per x= 4 + radice (8-k)

Quindi y=7 ed y=191/25 sono le due rette cercate per le quali il rettangolo inscritt0 ha perimetro uguale a 24

Caro Beppe, mi spiace assai leggere "NON RIESCO A CAPIRE NULLA" perché significa che la mia procedura risolutiva al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/51219/
non solo non t'è stata utile, ma ha danneggiato la tua intuizione sul tema.
Per cercare di rimediare e meritarmi il tuo perdono rifaccio lo sviluppo dell'esercizio "seguendo il metodo che avevi iniziato, cioè quello suggerito dal libro" però ti faccio notare che è la prima volta che lo chiedi esplicitamente.
Un'altra nota, che sarà utile nel malaugurato caso di altre incomprensioni future, è che dire "NON RIESCO A CAPIRE NULLA" non aiuta ad aiutarti perché non dà informazioni sulla prima incomprensione che è quella bloccante, ma solo sul tuo stato d'animo.
Dovesse risuccedere fai riferimento alla risposta dove sei riuscito a seguire più a lungo e poni obiezioni puntuali ("mi sono impuntato sul passaggio ...", "che cosa intendi con il termine «sarchiuddra»?", e simili.).
==============================
NUOVA RISOLUZIONE
------------------------------
A) Proprietà geometriche
Le parabole
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 8*x - 8 ≡ y = 8 - (x - 4)^2
* Γ2 ≡ y = x^2/4 - 2*x + 3/4 ≡ y = ((x - 4)^2 - 13)/4
hanno lo stesso asse di simmetria
* x = 4
vertici
* V1(4, 8) e V2(4, - 13/4) distanti ΔV = 45/4
intersezioni
* P(1, - 1) e Q(7, - 1) distanti c = 6
------------------------------
B) Secanti orizzontali: y = k, con - 13/4 < k < 8
* (y = k) & (y = 8 - (x - 4)^2) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ A(4 - √(8 - k), k) oppure B(4 + √(8 - k), k)
* base b = |AB| = |xB - xA| = |4 + √(8 - k) - (4 - √(8 - k))| = 2*√(8 - k)
---------------
Quindi i lati verticali che sono l'altezza h giacciono sulle rette
* x = 4 - √(8 - k)
* x = 4 + √(8 - k)
che intersecano Γ2 in
* y = ((4 - √(8 - k) - 4)^2 - 13)/4 = - (k + 5)/4 → D(4 - √(8 - k), - (k + 5)/4)
* y = ((4 + √(8 - k) - 4)^2 - 13)/4 = - (k + 5)/4 → C(4 + √(8 - k), - (k + 5)/4)
da cui
* altezza h = |BC| = |yC - yB| = |- (k + 5)/4 - k| = |(5/4)*(k + 1)|
------------------------------
C) Perimetro
* p(k) = 2*(b + h) = 2*(2*√(8 - k) + |(5/4)*(k + 1)|)
* (2*(2*√(8 - k) + |(5/4)*(k + 1)|) = 24) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ (|k + 1| = (8/5)*(6 - √(8 - k))) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ ((k + 1 = - (8/5)*(6 - √(8 - k))) oppure (k + 1 = + (8/5)*(6 - √(8 - k)))) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ (k + 1 = - (8/5)*(6 - √(8 - k))) & (- 13/4 < k < 8) oppure (k + 1 = (8/5)*(6 - √(8 - k))) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ (impossibile) oppure (√(8 - k) = (43 - 5*k)/8) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ (8 - k = (25/64)*k^2 - (215/32)*k + 1849/64) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ ((25/64)*k^2 - (215/32)*k + 1849/64 - (8 - k) = 0) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ ((k - 7)*(25*k - 191)/64 = 0) & (- 13/4 < k < 8) ≡
≡ (k = 7) oppure (k = 191/25)
------------------------------
D) Come scrivevo nell'altra risposta, questi calcoli sono di più e quindi con maggiore probabilità d'errore.