[Risolto] Parabole e loro intersezione

Ciao di nuovo.

Rispondo solo a quanto richiesto. Hai ottenuto:

y = - x^2 + 4·x - 1

y = 3·x^2 - 24·x + 47

Quindi sicuramente sei arrivato a scrivere:

k = - x^2 + 4·x - 1-------> x^2 - 4·x + (1 + k) = 0

Quindi per intersezioni distinte devi porre:

Δ/4 > 0-----> (-2)^2 - (1 + k) > 0-------> 3 - k > 0-----> k<3

Ascisse:

x1= 2 - √(3 - k)

X2= 2 + √(3 - k)

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x2-x1=2 + √(3 - k) - (2 - √(3 - k)) = 2·√(3 - k)

Poi:

3·x^2 - 24·x + (47 - k) = 0

intersezioni distinte:

Δ/4 > 0

(-12)^2 - 3·(47 - k) > 0-----> 3·(k + 1) > 0------> k > -1

Ascisse:

x1= (12 - √(3·(k + 1)))/3

x2= (12 + √(3·(k + 1)))/3

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x2-x1=(12 + √(3·(k + 1)))/3 - (12 - √(3·(k + 1)))/3 = 2·√(3·(k + 1))/3

Segmenti congruenti:

2·√(3 - k) = 2·√(3·(k + 1))/3  elevo al quadrato:

4·(3 - k) = 4·(k + 1)/3------> 12·(3 - k) = 4·(k + 1)----> 36 - 12·k = 4·k + 4

k=2

Quindi disegno allegato:

@Beppe

Vedo la domanda una ventina d'ore dopo la pubblicazione e già dotata di ottime risposte; potrei evitare d'intervenire, ma voglio mostrarti anche il mio approccio: se non rammento male tu all'inizio dicesti che stai riprendendo a studiare dopo decenni di sospensione e io penso che più campaane si sentono prima si riacquista il ritmo. Comunque se non ti serve lascia perdere, mica m'offendo.
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Entrambe le parabole (che tu hai già verificato essere corrette)
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 4*x - 1 ≡ y = 3 - (x - 2)^2
di vertice V1(2, 3) e apertura a1 = - 1, e
* Γ2 ≡ y = 3*x^2 - 24*x + 47 ≡ y = 3*(x - 4)^2 - 1
di vertice V2(4, - 1) e apertura a2 = 3, hanno assi di simmetria paralleli all'asse y, perciò la secante s ≡ y = k può solo avere ordinata
* - 1 < k < 3
per staccare corde non degeneri su entrambe le parabole.
Poiché la parabola più aperta è quella con maggiore lunghezza focale e/o lato retto (f = 1/(4*|a|); L = 1/(2*|a|)) quindi con apertura minore; per avere corde di pari lunghezza occorre che la corda sulla parabola meno aperta disti dal proprio vertice più di quanto non disti l'altra dal suo.
La secante d'equilibrio suddivide l'intervallo [- 1, 3] in parti che sono nel rapporto 3 : 1, come le lunghezze focali e cioè è proprio y = 2 come il risultato atteso.
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VERIFICA
* (y = k) & (y = 3 - (x - 2)^2) & (- 1 < k < 3) ≡
≡ P1(2 - √(3 - k), k) oppure Q1(2 + √(3 - k), k), distanti d1(k) = 2*√(3 - k)
per k = 2: d1(2) = 2*√(3 - 2) = 2
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* (y = k) & (y = 3*(x - 4)^2 - 1) & (- 1 < k < 3) ≡
≡ P2((12 - √(3*(k + 1)))/3, k) oppure Q2((12 + √(3*(k + 1)))/3, k), distanti d2(k) = 2*√(3*(k + 1))/3
per k = 2: d2(2) = 2*√(3*(2 + 1))/3 = 2