[Risolto] Parabole

A quest'ora l'eventuale "verifica rapida" è terminata; perciò questa risposta non vale da complicità in frode aggravata, ma solo da esempio del come procedere ordinatamente e con calma.
* Prima ripassare nelle pagine precedenti tutto ciò di cui parla l'esercizio.
* Poi applicare le definizioni sui dati dell'esercizio.
* Infine isolare i risultati richiesti.
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RIPASSI
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1) Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha
* asse x = w
* equazione Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
* fuoco F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a)
* zeri x = w ± √(- h/a), reali se a ed h sono discordi
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2) La curva rappresentata dall'equazione "f(x, y) = 0" passa per il punto P(u, v) se e solo se vale l'identità "f(u, v) = 0".
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3) La retta
* t ≡ A*x + B*y + C = 0
tange la parabola
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
se e solo se il loro sistema
* t & Γ ≡ (A*x + B*y + C = 0) & (y = h + a*(x - w)^2)
ha intersezioni reali e coincidenti.
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ESERCIZIO
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"Determinare le equazioni delle parabole con asse parallelo all'asse y"
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
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"passante per il punto A(0, 2)"
* 2 = h + a*(0 - w)^2 ≡ h = 2 - a*w^2
"passante per il punto B(- 1, 3)"
* 3 = h + a*(- 1 - w)^2 ≡ h = 3 - a*(w + 1)^2
da
* (h = 2 - a*w^2) & (h = 3 - a*(w + 1)^2) ≡
≡ (a = 1/(2*w + 1)) & (h = (6 - (w - 2)^2)/(2*w + 1)) & (w != - 1/2)
si ha
* Γ(w) ≡ (y = (6 - (w - 2)^2)/(2*w + 1) + (x - w)^2/(2*w + 1)) & (w != - 1/2)
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La retta
* t ≡ y = 2*x + 1
tange le parabole Γ(w) a condizione che il sistema
* t & Γ ≡ (y = 2*x + 1) & (y = (6 - (w - 2)^2)/(2*w + 1) + (x - w)^2/(2*w + 1))
la cui risolvente è
* (6 - (w - 2)^2)/(2*w + 1) + (x - w)^2/(2*w + 1) - (2*x + 1) = 0
con discriminante
* Δ(w) = 36*w*(w + 4/9)/(2*w + 1)^2
abbia intersezioni reali e coincidenti, cioè
* (Δ(w) = 0) & (w != - 1/2) ≡
≡ (w*(w + 4/9) = 0) & (w != - 1/2) ≡
≡ (w = - 4/9) oppure (w = 0)
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CONCLUSIONE
* Γ(- 4/9) ≡ y = 9*(x + 4/9)^2 + 2/9
* Γ(0) ≡ y = x^2 + 2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D9*%28x%2B4%2F9%29%5E2%2B2%2F9%2Cy%3Dx%5E2%2B2%2Cy%3D2*x%2B1%5Dx%3D-2to2%2Cy%3D0to4

@niccogene

Ciao e benvenuto. Siccome siamo in orario scolastico, per non sapere leggere e né scrivere ti darò la soluzione più tardi.

Come detto in precedenza adesso credo di poterti dare la risoluzione (per favore chiedete aiuto nel pomeriggio!)

Determinare le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y , tangenti alla retta y=2x+1 e passanti per i punti A(0;2) e B (-1;3)

Le parabole da ricercare hanno equazione:

y = a·x^2 + b·x + c

Cominciamo quindi ad imporre il passaggio per i punti dati:

{2 = a·0^2 + b·0 + c    (passaggio per A)---------- c = 2 come era prevedibile!

{3 = a·(-1)^2 + b·(-1) + c

Dalla seconda: 3 = a - b + 2  --------- b = a – 1

Quindi le parabole cercate hanno ora un solo coefficiente da determinare.

Metto quindi a sistema l’equazione trovata con la retta data:

{y = a·x^2 + (a - 1)·x + 2

{y = 2·x – 1

Procedo con sostituzione:

2·x + 1 = a·x^2 + (a - 1)·x + 2----------->   a·x^2 + (a - 1)·x + 2 - 2·x - 1 = 0

a·x^2 + x·(a - 3) + 1 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0 ------>    (a - 3)^2 - 4·a = 0--------> a^2 - 10·a + 9 = 0-------> (a - 1)·(a - 9) = 0

Quindi:   a = 9 ∨ a = 1

Parabole: y = 1·x^2 + (1 - 1)·x + 2    ed   y = 9·x^2 + (9 - 1)·x + 2

Quindi: y = x^2 + 2   v    y = 9·x^2 + 8·x + 2