1) Considerare
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Il fascio
* r(h) ≡ y = 2*x + h, con {h, x, y} ⊂ R
è improprio di pendenza due e intercetta h, parametrica.
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La parabola non degenere
* Γ ≡ y = 8*x - x^2 ≡ - x^2 + 8*x - y = 0 ≡ y = 16 - (x - 4)^2 ≡ y = - (x - 8)*x
ha
* asse di simmetria x = 4
* zeri X1 = 0, X2 = 8
* apertura a = - 1
* vertice V(4, 16)
* fuoco F(4, 16 + 1/(4*a)) = (4, 63/4)
* direttrice d ≡ y = 16 - 1/(4*a) = 65/4
* pendenza m(x) = 2*(4 - x)
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2) Risposte ai quesiti
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2a) Posizioni relative
La pendenza eguale a quella del fascio si ha nel punto T di tangenza, per
* m(x) = 2*(4 - x) = 2 ≡ x = 3 → y = 16 - (3 - 4)^2 = 15 → T(3, 15)
e la tangente in T è
* y = 15 + 2*(x - 3) ≡ y = 2*x + 9
e, dal momento che Γ ha apertura negativa, le rette con intercetta maggiore di nove le sono esterne mentre quelle con intercetta minore la secano.
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2b1) (y = 2*x + h) & (y = 16 - (x - 4)^2) & (h < 9) ≡
≡ P(3 - √(9 - h), h + 6 - 2*√(9 - h))
oppure
≡ Q(3 + √(9 - h), h + 6 + 2*√(9 - h))
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2b2) Sono ortogonali tutte e sole le coppie di tangenti tirate da un punto della direttrice, R(k, 65/4).
Dalla forma normale canonica (- x^2 + 8*x - y = 0) si trovano le tangenti come polari
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* in P: t1 ≡ - x*(3 - √(9 - h)) + 8*(x + 3 - √(9 - h))/2 - (y + h + 6 - 2*√(9 - h))/2 = 0 ≡
≡ y = 2*(1 + √(9 - h))*x + 18 - (h + 6*√(9 - h))
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* in Q: t2 ≡ - x*(3 + √(9 - h)) + 8*(x + 3 + √(9 - h))/2 - (y + h + 6 + 2*√(9 - h))/2 = 0 ≡
≡ y = 2*(1 - √(9 - h))*x + 18 - (h - 6*√(9 - h))
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* t1 & t2 ≡ (y = 2*(1 + √(9 - h))*x + 18 - (h + 6*√(9 - h))) & (y = 2*(1 - √(9 - h))*x + 18 - (h - 6*√(9 - h))) & (h < 9) ≡
≡ R(3, 24 - h)
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* 24 - h = 65/4 ≡ h = 31/4
da cui
* P(3 - √5/2, 55/4 - √5)
* Q(3 + √5/2, 55/4 + √5)
* R(3, 65/4)
* t1 ≡ y = 2*(1 + √5/2)*x - 3*√5 + 41/4
* t2 ≡ y = 2*(1 - √5/2)*x - 3*√5 + 41/4
e infine
* r ≡ PQ ≡ y = 2*x + 31/4
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2c) Già fatto sub 2b2
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2d) La richiesta area S del triangolo, individuato dalle rette t1, t2 e r, di vertici
* P(3 - √5/2, 55/4 - √5), Q(3 + √5/2, 55/4 + √5), R(3, 65/4)
è metà del modulo del prodotto vettoriale di due qualsiasi lati orientati (vedi in fondo)
* S(PQR) = 5*√5/4 ~= 2.795
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Metodo generale per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)|/2
