[Risolto] Parabole

Per la parabola y = ax^2, essendo D = 0^2 - 4 a* 0 = 0, la direttrice ha equazione

y = d = (-1-D)/(4a) = -1/(4a) con a =/= 0.

Allora P = (xo, -1/(4a)) con xo in R

Scrivo il fascio di rette per P : y + 1/(4a) = m (x - xo)

e la risolvente del sistema parabola - retta per P assume la forma

a x^2 = mx - m xo - 1/(4a )

a x^2 - m x + (mxo + 1/(4a))

per la condizione di tangenza Delta = 0

m^2 - 4a (m xo + 1/4a ) = 0

m^2 - 4a xo m - 1 = 0

fra le cui radici vale la relazione fondamentale

m1 m2 = C/A = -1/1 = -1

m2 = -1/m1

che esprime la perpendicolarità.

Per la seconda parte, osserviamo quanto segue

d = -1/(4a) = -1/(4*1/4) = -1 = yP

e così P si trova sulla direttrice.

Non resta pertanto che determinare l'equazione della perpendicolare a t1 passante per P

che é y + 1 = - 2(x + 3/2)

y + 1 = -2x - 3

e in definitiva

2x + y + 4 = 0

Le tangenti alla parabola Γ condotte da un punto P della direttrice sono le rette PA e PB congiungenti P con i punti A e B d'intersezione di Γ con la retta p polare di P rispetto a Γ; se le pendenze di PA e PB risultano antinverse allora la tesi è dimostrata.
---------------
Ogni parabola Γ con: asse di simmetria parallelo all'asse y; apertura a != 0; vertice V(w, h); ha
* equazione: Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 ≡ a*x^2 - 2*a*w*x - y + a*w^2 + h = 0
* fuoco: F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice: d ≡ y = h - 1/(4*a), luogo dei punti P(k, h - 1/(4*a))
* polare di P: p ≡ a*x*k - 2*a*w*(x + k)/2 - (y + h - 1/(4*a))/2 + a*w^2 + h = 0 ≡
≡ 8*a*(k - w)*(x - w) - 4*(y - h) + 1/a = 0
==============================
NEL CASO IN ESAME
------------------------------
* Γ ≡ y = a*x^2 → V(0, 0) & P(k, - 1/(4*a))
da cui
* p ≡ 8*a*k*x - 4*y + 1/a = 0 ≡ y = 2*a*k*x + 1/(4*a)
--------
* p & Γ ≡ (y = 2*a*k*x + 1/(4*a)) & (y = a*x^2) & (a != 0) ≡
≡ A(k - √(1/a^2 + 4*k^2)/2, a*k*(2*k - √(1/a^2 + 4*k^2)) + 1/(4*a))
oppure
≡ B(k + √(1/a^2 + 4*k^2)/2, a*k*(2*k + √(1/a^2 + 4*k^2)) + 1/(4*a))
--------
* PA ≡ y = a*(2*k - √(1/a^2 + 4*k^2))*x - (a*k*(2*k - √(1/a^2 + 4*k^2)) + 1/(4*a))
--------
* PB ≡ y = a*(2*k + √(1/a^2 + 4*k^2))*x - (a*k*(2*k + √(1/a^2 + 4*k^2)) + 1/(4*a))
---------------
* m(PA)*m(PB) = (a*(2*k - √(1/a^2 + 4*k^2)))*a*(2*k + √(1/a^2 + 4*k^2)) = - 1
QED
------------------------------
Fissata l'apertura, a = 1/4, si ha
* P(k, - 1/(4*1/4)) = (k, - 1)
e fissato k = - 3/2 si ha
* m(PA) = (1/4)*(2*(- 3/2) - √(1/(1/4)^2 + 4*(- 3/2)^2)) = - 2
* m(PB) = (1/4)*(2*(- 3/2) + √(1/(1/4)^2 + 4*(- 3/2)^2)) = 1/2