Parabola passante per 3 punti

Un INDISPENSABILE passaggio preliminare ad ogni discussione sui passaggi algebrici è l'accertamento che la richiesta sia CORRETTA, UNIVOCA ed espressa con precisione di linguaggio.
NELLA TUA DOMANDA CIO' RISULTA ASSENTE.
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La "Parabola passante per 3 punti" detto così, al singolare e senz'altre specificazioni NON PUO' ESISTERE: o non ne esiste neanche una, o ne esistono infinite con due gradi di libertà; ma una sola mai.
L'equazione di una generica parabola presenta cinque parametri per determinare i quali occorrono cinque vincoli; ma la condizione d'appartenenza di un punto impone un solo vincolo, quindi imponendo tre passaggi si lasciano due parametri liberi di variare.
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ESEMPIO
Per i punti
752) A(2, 0), B(1, 1), C(0, 3)
ti mostro le tre parabole più banali
x^2 - 2*x*y + y^2 - 17*x - 13*y + 30 = 0
3456*x - 576*y^2 + 4032*y - 6912 = 0
x^2 - 5*x - 2*y + 6 = 0
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2-2*x*y%2By%5E2-17*x-13*y%2B30%3D0%2C3456*x-576*y%5E2%2B4032*y-6912%3D0%2Cx%5E2-5*x-2*y%2B6%3D0%5D
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Dal risultato atteso (y = (x^2 - 5*x + 6)/2) si deduce quello che a te è sembrato superfluo, i due vincoli mancanti: asse di simmetria parallelo all'asse y.
In questo caso il problema risulta determinato e i passaggi algebrici sono: il ripasso sulla forma dell'equazione; le tre condizioni di passaggio; la risoluzione del sistema dei vincoli; la determinazione dell'unica equazione richiesta.
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Ogni parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione della forma
* y = a*(x - w)^2 + h
con tre soli parametri da determinare e non cinque.
Chiedere il passaggio per
752) A(2, 0), B(1, 1), C(0, 3)
vuol dire imporre il triplice vincolo
* (3 = a*(0 - w)^2 + h) & (1 = a*(1 - w)^2 + h) & (0 = a*(2 - w)^2 + h) ≡
≡ (h = 3 - a*w^2) & (1 = a*(1 - w)^2 + 3 - a*w^2) & (0 = a*(2 - w)^2 + 3 - a*w^2) ≡
≡ (h = 3 - a*w^2) & (a = 2/(2*w - 1)) & (w != 1/2) & (a = 3/(4*(w - 1))) & (w != 1)
cioè
* 2/(2*w - 1) = 3/(4*(w - 1)) ≡ w = 5/2
* a = 2/(2*w - 1) = 2/(2*5/2 - 1) = 1/2
* h = 3 - a*w^2 = 3 - (1/2)*(5/2)^2 = - 1/8
da cui l'equazione richiesta
* y = a*(x - w)^2 + h = (1/2)*(x - 5/2)^2 - 1/8 ≡
≡ y = (x - 2)*(x - 3)/2
che è proprio il risultato atteso.

 

Una generica parabola ( che suppongo a simmetria verticale) ha come equazione $y = ax^2 + bx +c$

Adesso scrivo tre equazioni in cui sostituisco in ognuna le coordinate di un punto:

$A(2,0)$

$0 = a \cdot (2)^2 + b \cdot (2) + c$

$B(1,1)$

$1= a \cdot (1)^2 +b \cdot (1) + c$

$C(0,3)$

$3= a \cdot (0)^2 +b \cdot (0) + c$

Ottengo come risultati:

$4a + 2b + c = 0$

$a + b + c = 1$

$c = 3$

Metto queste equazioni a sistema e trovo i valori di $a$, $b$ e $c$.

Posso risolvere il sistema per sostituzione:

$c = 3$  e quindi trovo che

$4a + 2b = -3$

$a + b = -2$

Posso mettere in evidenza la $b$ e trovare che $b = -a -2$, sostituisco il valore nella prima equazione e trovo che

$4a - 2a - 4 = -3$  da cui ricavo $a=\dfrac{1}{2}$ e $b= -\dfrac{5}{2}$

di conseguenza l'equazione della parabola che passa per i tre punti $A(2,0)$,  $B(1,1)$ e $C(0,3)$ vale:

$y = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{5}{2}x + 3$