Determina l'equazione della parabola passante per i punti $A(0 ; 5)$ e $B(5 ; 0)$ avente come asse di simmetria la retta di equazione $x=2$. Determina poi un punto $P$ sull'arco di parabola $A B$ in modo che il quadrilatero $O A P B$ abbia area $\frac{55}{2}$.
$$
\left[y=-x^2+4 x+5 ; P(3 ; 8) \vee P(2 ; 9)\right]
$$
308
punti
Livello 1
@lucianop anche lei lo avrebbe svolto come stefano?
y = a·x^2 + b·x + c
passa per A---> c = 5
passa per B----> 0 = a·5^2 + b·5 + 5
asse di simmetria x=-b/(2a)---> - b/(2·a) = 2
Risolvo il sistema:
{25·a + 5·b = -5
{b/a = -4
ottengo: [a = -1 ∧ b = 4]
parabola cercata: y = - x^2 + 4·x + 5
Avrei poi cercato l'area di APB= A
Α = 55/2 - Δ
essendo Δ l'area del triangolo AOB=Δ = 1/2·5·5= 25/2
Quindi A=15
In figura una delle due possibilità
77285
punti
Genius II
Avendo come asse di simmetria la retta x=2, la parabola interseca l'asse delle ascisse nel punto (-1;0)
L'equazione è:
y=a(x+1)(x-5)
Imponendo la condizione di appartenenza del punto (0;5) alla conica si ricava il valore del parametro a= - 1
La parabola ha equazione:
y= - x² + 4x + 5
Il punto P appartiene alla parabola. Ha coordinate:
P=(k; - k²+4k+5)
Determino l'area del quadrilatero come somma delle aree dei triangoli PAO e POB
Area= (5k/2) + [5*( - k²+4k+5)/2]
Imponendo la condizione richiesta si ricava:
K² - 5k + 6 = 0
Da cui si ricava:
K=2 ; k=3
Sostituendo i valori di k nell'equazione della parabola determino le rispettive ordinate
P(2;9)
P1(3;8)
75838
punti
Genius II
@stefanopescetto perfetto,grazie!
@stefanopescetto in realtà non ho ben chiaro come trovare le aree dei due triangoli. Ho capito le coordinate di P ma poi non ho capito il resto dello svolgimento.
