parabola es 302

@lorenzo_licinio_carino

RIPASSI
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A) Proprietà geometriche
La parabola
* Γ ≡ y = a*x^2
luogo dei punti P(k, a*k^2), ha
* apertura a != 0
* concavità rivolta verso
** y < 0 se a < 0
** y > 0 se a > 0
* asse di simmetria x = 0 (l'asse y)
* vertice V(0, 0) (l'origine del riferimento)
* fuoco F(0, 1/(4*a))
* direttrice Γ ≡ y = - 1/(4*a)
* distanza focale f = |FV| = |Fd| = 1/(4*|a|)
* pendenza m(x) = 2*a*x
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B) Rette per un punto
Per il punto P(k, a*k^2) passano tutte e sole le rette:
* r(∞) ≡ x = k, parallela all'asse y;
* r(m) ≡ y = a*k^2 + m*(x - k), per ogni pendenza m reale.
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C) Rette ortogonali
Due rette sono ortogonali se hanno pendenze antinverse: m' = - 1/m.
La normale di r(∞) è: y = a*k^2
La normale di r(m) è: y = a*k^2 - (x - k)/m
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D) Distanza punto-retta
La distanza del punto P(u, v) dalla retta x = c è d = |u - c|
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = c è d = |v - c|
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = √((m*u + q - v)^2/(m^2 + 1))
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ESERCIZIO #302
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1) Punto: P(k, a*k^2), con k != 0 (k = 0 è banale)
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2) Rette per P
* r ≡ x = k
* s ≡ FP ≡ y = ((4*(a*k)^2 - 1)/(4*a*k))*x + 1/(4*a)
* tangente in P
** r(m(k)) ≡ y = 2*a*k*x - a*k^2
* normale in P
** r(- 1/m(k)) ≡ y = (a*k^2 + 1/(2*a)) - x/(2*a*k)
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3) Luogo dei punti equidistanti da r ed s
La distanza (al quadrato) del punto P(u, v) dalla retta x = k è
* d^2 = (u - k)^2
La distanza (al quadrato) del punto P(u, v) dalla retta
* y = ((4*(a*k)^2 - 1)/(4*a*k))*x + 1/(4*a)
è
* d^2 = ((4*a^2*k^2*u - 4*a*k*v + k - u)/(4*(a*k)^2 + 1))^2
Sostituendo (x, y) a (u, v) ed eguagliando le due espressioni di d^2 si ottiene l'equazione del luogo, iperbole degenere costituita dal prodotto delle due bisettrici.
* ((4*(a*k)^2*x - 4*a*k*y + k - x)/(4*(a*k)^2 + 1))^2 = (x - k)^2 ≡
≡ a*k*(2*a*k*x - a*k^2 - y)*(2*a^2*k^3 - 2*a*k*y + k - x) = 0 ≡
≡ (2*a*k*x - a*k^2 - y = 0) oppure (2*a^2*k^3 - 2*a*k*y + k - x = 0) ≡
≡ (y = 2*a*k*x - a*k^2) oppure (y = (a*k^2 + 1/(2*a)) - x/(2*a*k)) ≡
≡ (tangente in P) oppure (normale in P)
QED