Per quali valori di a appartenente ai reali l'equazione ay=(a+1)x²+ax rappresenta una parabola?
Per quali valori di a appartenente ai reali l'equazione ay=(a+1)x²+ax rappresenta una parabola?
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Livello 1
Io ho fatto a+1 diverso da 0 ovvero a diverso da -1, ma il libro dice anche che è diverso da 0 ma non capisco il perché
@StefanoPescetto @LucianoP
Un po' m'imbarazza contraddirvi, e me ne scuso fin d'ora.
@alex_under io ho dato una risposta forse pallosa, ma di certo precisa.
Temo che le vostre invece siano state influenzate dalla citazione della risposta del libro che avete voluto giustificare; io mi sono salvato perché parto dal presupposto che i libri di testo italiani sbaglino, a meno che non se ne dimostri la correttezza.
Luciano dice "asse y che non è una parabola", ma l'asse y DOPPIO lo è!
Stefano dice "non abbiamo più nell'equazione la seconda incognita y, ma solo x.", ma la definizione dell'equazione di una conica è "eguagliare a zero un qualsiasi polinomio di grado due in due variabili: p(x, y) = 0" e nel QUALSIASI rientrano anche quelli in cui i coefficienti di una variabile sono nulli.
Ho trovato un'esauriente casistica nell'articolo al link
https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche#Classificazione_metrica_delle_coniche
Buona giornata e, di nuovo, scusate la critica.
Critiche fatte in maniera civile non hanno mai bisogno di scuse! Possono essere condivise o no, ma sempre apprezzate.
In questo caso sono anche condivise dal sottoscritto.
LA DOMANDA alla MIA RISPOSTA doveva essere "...l'equazione ay=(a+1)x²+ax rappresenta una parabola NON DEGENERE?
Buona giornata.
L'equazione della parabola con asse di simmetria verticale è della forma
y = ax ² + bx + c. Con a≠0
Quindi un equazione in cui compaiono due incognite.
Anche dalla stessa definizione:
Parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta detta direttrice.
Per definire univocamente un punto in un piano abbiamo bisogno di una coppia di valori (x, y)
Passando al problema
Se a=0 allora non abbiamo più nell'equazione la seconda incognita y, ma solo x.
Non abbiamo più una coppia di valori (x, y)
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Genius II
se fosse a=0 si avrebbe:
x^2=0
che in sostanza significa asse y che non è una parabola.
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Genius II
Se il quesito è posto ESATTAMENTE con quelle parole, allora IL LIBRO SBAGLIA.
Per vederne il motivo occorre un'analisi dettagliata dell'equazione.
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L'equazione del fascio di parabole
* Γ(a) ≡ a*y = (a + 1)*x^2 + a*x
presenta due soli casi particolari.
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Per a = 0 diventa
* 0 = x^2
e rappresenta l'asse y doppio che, in quanto parabola, è doppiamente degenere (matrice di rango uno; invarianti quadratico e cubico nulli; apertura nulla; fuoco e vertice all'infinito.).
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Per a = - 1 diventa
* y = x
e rappresenta la bisettrice dei quadranti dispari, curva di grado uno e quindi non una conica come le parabole.
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Per (a != - 1) & (a != 0) è lecito scriverla nelle forme
* y = (1 + 1/a)*x^2 + x ≡
≡ y = (1 + 1/a)*(x + a/(a + 1))*x ≡
≡ y = (1 + 1/a)*(x + a/(2*(a + 1)))^2 - a/(4*(a + 1))
dalle quali si rilevano le proprietà geometriche salienti
* vertice V(- a/(2*(a + 1)), - a/(4*(a + 1))), con y = x/2
* zeri (X1 = - a/(a + 1)) oppure (X2 = 0)
* apertura k = 1 + 1/a
* distanza focale f = 1/(4*|1 + 1/a|) = |a/(4*(a + 1))| = |yV|
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CONCLUSIONI
Come ogni fascio con apertura parametrica anche questo ha un'unica curva che è una retta anziché una parabola: Γ(- 1) ≡ y = x.
Ha anche una parabola che degenera su due rette reali coincidenti: Γ(0) ≡ x^2 = 0.
L'unica risposta corretta al quesito
* «Per quali valori reali di a l'equazione ... rappresenta una parabola?»
è: per a != - 1.
La risposta del libro sarebbe stata corretta se il quesito fosse stato
* «Per quali valori ... rappresenta una parabola NON DEGENERE?»
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Genius I