[Risolto] PARABOLA

@morris2006

Ciao.

D'accordo con @exprof al posto di: y = - x^2 + 3·a·x - 2·a^3

preferisco scrivere: y = - x^2 + 3·k·x - 2·k^3

Per una parabola ad asse verticale ( y = a·x^2 + b·x + c )

si ha:

[- b/(2·a), - Δ/(4·a)] : coordinate del vertice

[- b/(2·a), (1 - Δ)/(4·a)] : coordinate del fuoco

y = - (1 + Δ)/(4·a) : equazione della direttrice

Quindi facciamo riferimento alle coordinate scritte sopra in grassetto.

Δ = b^2 - 4·a·c

Quindi, con riferimento al nostro caso abbiamo:

a = -1 ; b = 3·k ; c = - 2·k^3

L'ascissa del fuoco è:

- b/(2·a) = - 3·k/(-2)-----> x = 3·k/2

L'ordinata del fuoco è:

(Δ = (3·k)^2 - 8·k^3----> Δ = 9·k^2 - 8·k^3)

(1 - (9·k^2 - 8·k^3))/(-4) ----->  y = - (8·k^3 - 9·k^2 + 1)/4

Se il fuoco sta sull'asse delle y deve essere:

3·k/2 = 0-----> k = 0

Se il fuoco sta sull'asse delle x deve essere:

- (8·k^3 - 9·k^2 + 1)/4 = 0

cioè:

8·k^3 - 9·k^2 + 1 = 0

Risolvendola si ottiene:

k = 1/16 - √33/16 ∨ k = √33/16 + 1/16 ∨ k = 1

Quindi il fuoco del fascio di parabole dato non può stare sull'origine.

 

Parlando di parabole il nome 'a' è riservato per l'apertura: è scorretto darlo a un parametro.
Così pure il nome 'Y' si dà di solito a un punto: è poco bello darlo a una variabile.
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Il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + 3*k*x - 2*k^3 ≡
≡ y = (9 - 8*k)*k^2/4 - (x - 3*k/2)^2
ha il generico vertice
* V(3*k/2, (9 - 8*k)*k^2/4)
che percorre la cubica
* y = x^2 - 16*x^3/27 = (1 - 16*x/27)*x^2
come si ha eliminando k dalle coordinate
* (x = 3*k/2) & (y = (9 - 8*k)*k^2/4) ≡ (k = 2*x/3) & (y = x^2 - 16*x^3/27)
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Il complesso degli assi cartesiani è l'iperbole degenere x*y = 0
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I valori del parametro che soddisfanno alla consegna sono quelli corrispondenti alle ascisse delle intersezioni reali fra le due curve: assi e luogo dei vertici.
* (x*y = 0) & (y = (1 - 16*x/27)*x^2) ≡
≡ (0, 0) oppure (27/16, 0)
quindi dalla
* k = 2*x/3
si ha
* (k = 0) oppure (k = 9/8)
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D-x%5E2%2Cy-27*x%2F8%3D-x%5E2-729%2F256%5D