[Risolto] parabola

@vitinia

Ciao e benvenuta.

Ti svolgo la mia risoluzione sino alla parabola. Poi se riesco ti mando anche la parte terminale.

In base alle indicazioni del testo la parabola è ad asse orizzontale y=2.

Si deduce quindi che per la simmetria della parabola, intercetta sull'asse delle y i punti A(0,6) ed il punto B(0,-2) che sono distanziati di 8. Quindi la parabola da ricercare è del tipo:

x = a·(y - 6)·(y + 2)

L'ultimo parametro a lo determiniamo imponendo il passaggio per (6,0) :

6 = a·(0 - 6)·(0 + 2)

6 = - 12·a-----> a = - 1/2

x = (- 1/2)·(y - 6)·(y + 2)------> x = - y^2/2 + 2·y + 6

Poi invio il grafico su cui poter ragionare per la parte terminale del problema:

Faccio ora riferimento alla doppia simmetria che il rettangolo possiede:

a) rispetto all'asse delle y

b) rispetto all'asse orizzontale della parabola

Quindi sull'arco di parabola:

x = - y^2/2 + 2·y + 6

individuato da questi due assi, prendiamo:[- y^2/2 + 2·y + 6, y]

che ha distanze:

y - 2 = distanza dall'asse della parabola

- y^2/2 + 2·y + 6 = distanza dall'asse delle y

e moltiplichiamo per 4 la somma di tali distanze:

4·(y - 2 + (- y^2/2 + 2·y + 6)) = 26

4·(- y^2/2 + 3·y + 4) = 26

- 2·y^2 + 12·y + 16 - 26 = 0

- 2·y^2 + 12·y - 10 = 0

y^2 - 6·y + 5 = 0----> (y - 1)·(y - 5) = 0

Risolvo: y = 5 ∨ y = 1

per y=5 ottengo il punto:

[- 5^2/2 + 2·5 + 6, 5]-------> [7/2, 5]

che è quello individuato dalla figura allegata

e poi

[- 1^2/2 + 2·1 + 6, 1]-------> [15/2, 1]

Vedi un po' tu ora quello che devi fare. Ciao Luciano.

Ogni parabola Γ con asse di simmetria la retta y = 2 ha equazione
* Γ ≡ x = w + a*(y - 2)^2
con
* apertura a != 0
* vertice V(w, 2)
---------------
La condizione di passaggio per X(6, 0) impone il vincolo
* 6 = w + a*(0 - 2)^2 ≡ w = 2*(3 - 2*a)
da cui
* Γ ≡ x = 2*(3 - 2*a) + a*(y - 2)^2
---------------
La condizione di intercettare sull'asse y una corda lunga 8, cioè di passare per Y1(0, 2 - 4) e Y2(0, 2 + 4), impone il vincolo
* Γ ≡ 0 = 2*(3 - 2*a) + a*(2 ± 4 - 2)^2 ≡ 2*(3 - 2*a) + 16*a = 0 ≡ a = - 1/2
da cui
* w = 8
* V(8, 2)
* Γ ≡ x = 8 - (y - 2)^2/2
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La parabola Γs, simmetrica di Γ rispetto all'asse y, deve avere apertura opposta e vertice
* Vs(- 8, 2)
quindi equazione
* Γs ≡ x = (y - 2)^2/2 - 8
------------------------------
I vertici di ogni rettangolo ABCD inscritto nel doppio segmento racchiuso fra Γ e Γs sono in simmetria quadrantale di centro Y(0, 2) ed assi x = 0 ed y = 2; pertanto sono le intersezioni delle parabole con le rette y = 2 ± h, e basta calcolarne una; ad esempio quella di Nord Est
* (y = 2 + h) & (x = 8 - (y - 2)^2/2) & (0 < h < 4) ≡
≡ C((16 - h^2)/2, h + 2)
la cui somma delle distanze dagli assi della simmetria dev'essere un quarto del perimetro richiesto
* ((16 - h^2)/2 + h = 26/4) & (0 < h < 4) ≡ h = 3
quindi
≡ C(7/2, 5)
da cui
* (x = 7/2) & (x = 8 - (y - 2)^2/2) ≡ B(7/2, - 1) oppure C(7/2, 5)
* (x = - 7/2) & (x = (y - 2)^2/2 - 8) ≡ A(- 7/2, - 1) oppure D(- 7/2, 5)