Considera la parabola di equazione $y=8 x - x ^2$ che interseca l'asse delle $x$ in $O$ e in A.Iscrivi nel segmento parabolico delimitato dall'asse $x$ un rettangolo $BCDE$ con la base su OA tale che la somma tra il quadrato dell'altezza e il quadrato della base vale $8(p t 35)$
Buonasera,
Sono riuscita a farlo fino ad un certo punto...qualcuno mi può aiutare per favore?
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Livello 1
La parabola
* Γ ≡ y = 8*x - x^2 ≡ y = x*(8 - x) ≡ y = 16 - (x - 4)^2
ha
* zeri O(0, 0) oppure A(8, 0)
* vertice V(4, 16)
* asse di simmetria x = 4
Per le ascisse simmetriche x = 4 ± k ha l'ordinata
* y = 16 - (4 ± k - 4)^2 = 16 - k^2
che, per 0 < |k| < 4, è positiva e identifica il richiesto rettangolo non degenere PQRS di vertici
* P(4 - k, 0), Q(4 + k, 0), R(4 + k, 16 - k^2), S(4 - k, 16 - k^2)
La somma fra il quadrato dell'altezza ((16 - k^2)^2) e il quadrato della base ((2*k)^2) vale
* s(k) = (16 - k^2)^2 + (2*k)^2 = (k^2 - 14)^2 + 60 >= s(± √14) = 60 > 8
quindi la consegna è insoddisfacibile.
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Nel probabile caso di un refuso ("vale 8" al posto di "valga 80") si avrebbe
* s(k) = (k^2 - 14)^2 + 60 = 80 ≡
≡ (k^2 - 14)^2 = 20 ≡
≡ k^2 - 14 = ± √20 ≡
≡ k^2 = 14 ± 2*√5 ≡
≡ k = ± √(2*(7 ± √5))
cioè
* k in {- √(2*(7 + √5)) ~= - 4.3, - √(2*(7 - √5)) ~= - 3.1, √(2*(7 - √5)) ~= 3.1, √(2*(7 + √5)) ~= 4.3}
tutt'e quattro ottemperanti alla clausola restrittiva 0 < |k| < 4.
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Genius I
