[Risolto] Parabola

Ciao!

Se ha il vertice nell'origine e asse di simmetria pari all'asse $y$, la parabola è del tipo $ax^2$

Poiché ha direttrice che passa  per il punto $P(0, \frac74)$ e l'equazione della direttrice è 

$ y= -\frac{1+\Delta}{4a} = -\frac{1+b^2-4ac}{4a} $

ma sappiamo che $b = 0$ e $c = 0$, quindi: 

$y = -\frac{1}{4a}$

Se passa per $P$ allora, sostituendo, $ \frac74 = -\frac{1}{4a}$

quindi $a = -\frac17$ 

Allora il fuoco è: $ F = (-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a}) = (0; \frac{1}{4a}) = (0; -\frac74)$

La parabola ha invece equazione $y = -\frac17 x^2$

Ciao,

La retta direttrice è prependicolare all'asse di simmetria per cui sarà una retta parallela all'asse delle ascisse (l'asse x)

Dovendo passare per il punto

$P(0,\frac{7}{4})$

La retta direttrice avra equzione

$y=\frac{7}{4}$

( da cui già possiamo intuire che la parabola ha concavità verso il basso)

Inoltre dovendo essere la distanza tra il vertice e la direttrice uguale alla distanza tra il fuoco e il vertice ed essendo $V(0,0)$  le coordinate del fuoco sono $F(0,-\frac{7}{4})$

Adesso ricordando che

$F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a})$

e

$V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$

Possiamo scrivere:

Coordinata $x$ del vertice:

1) $-\frac{b}{2a}=0$

Coordinata $y$ del vertice:

2) $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$

Coordinata $y$ del fuoco:

3) $\frac{1-\Delta}{4a}=\frac{1-b^2+4ac}{4a}=-\frac{7}{4}$

Dalla prima abbiamo che $b=0$

Ora sostuendo $b=0$ nella 2) atteniamo

$\frac{4ac}{4a}=0$

Da cui $c=0$

Ora sostituendo $b=0$ e $c=0$ nella 3)

$\frac{1}{4a}=-\frac{7}{4}$

$1=-\frac{28a}{4}$

$1=-7a$

$1=-7a$

Per cui $a=-\frac{1}{7}$

Ricapitolando:

$a=-\frac{1}{7}$

$b=0$

$c=0$

Sostituendo nell'equzione generica della parabola:

$y=ax^2+bx+c$

Otteniamo la nostra equzione:

$y=-\frac{1}{7}x^2$