[Risolto] parabola

@sararusso020

La parabola passa per il punto A(2,3).

Imponendo la condizione di appartenenza di A alla funzione data si ricava il valore di c

 

2= 9a+c

c= 2-9a

 

Possiamo determinare l'equazione della retta tangente alla conica nel punto A utilizzando le formule di sdoppiamento.

 

(x+2)/2 = 3ay + 2 - 9a

 

Il coefficiente angolare della retta tangente è quindi:

m=1/(6a)

 

Imponendo la condizione che la retta sia perpendicolare alla bisettrice del 2-4 quadrante si ottiene:

 

1/(6a)= 1

 

Da cui si ricava: a= 1/6

Quindi: c= 2 - 9/6  ==> c= 1/2

 

L'equazione della parabola è quindi:

x= (1/6)*y² + 1/2

2 = a*9 + c 

c = 2 - 9a 

 

x = ay^2 + 2 - 9a 

se intersecata con la retta di equazione

y - 3 = 1*(x - 2) 

ovvero

x = y - 1

deve dare una risolvente con delta = 0

y - 1 = ay^2 + 2 - 9a 

ay^2 - y + 3 - 9a = 0

1 - 4a(3 - 9a) = 0

1 - 12a + 36a^2 = 0

(6a - 1)^2 = 0

 

a = 1/6 

sostituendo

x = 1/6 y^2 + 1/2

Ogni retta t perpendicolare alla bisettrice dei quadranti pari è parallela alla bisettrice dei quadranti dispari, quindi ha forma
* t(q) ≡ y = x + q
Fra queste, quella che passa per il punto A(2, 3) è
* t(1) ≡ y = x + 1
di pendenza m = 1.
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La parabola di forma
* Γ(a, c) ≡ x = a*y^2 + c
con apertura a != 0, ha pendenza nel semipiano y > 0 in cui cade A
* m(x) = d/dx √((x - c)/a) = 1/(2*√(a*(x - c)))
che, all'ascissa di A, deve valere uno per la condizione di tangenza
* m(2) = 1/(2*√(a*(2 - c))) = 1 > 0
La pendenza positiva in A(2, 3) implica concavità rivolta verso x > 0, quindi a > 0.
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L'altra condizione, d'appartenenza, è
* 2 = a*3^2 + c
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I parametri si valorizzano con la soluzione del sistema dei vincoli
* (1/(2*√(a*(2 - c))) = 1) & (2 = a*3^2 + c) & (a > 0) ≡
≡ (a = 1/6) & (c = 1/2)
da cui
* Γ ≡ x = y^2/6 + 1/2 ≡ x = (y^2 + 3)/6
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-1%3Dx%2C6*x-3%3Dy%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-1%3Dx%2Cx*y%3D0%2C6*x-3%3Dy%5E2%5Dx%3D-2to12%2Cy%3D-9to9