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[Risolto] Parabola

  

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Fra le espressioni seguenti, individua quella che può essere rappresentata dalla curva $\gamma$ in figura:
$$
y_{1}=\left|x^{2}-2 x\right|+2
$$
$$
y_{2}=|x|(x-2)+2
$$
$$
y_{3}=x|x-2|+2
$$
a. Trova l'equazione della retta $r$ tangente a $\gamma$ nel punto $B$.
b. Determina il punto $C$ distinto da $B$ che $\gamma$ ha in comune con la retta $r$.

c. Scrivi l'equazione della retta $s$ tangente a $\gamma$ nel punto $C$; detto $D$ il punto di intersezione tra $s$ e la retta $A B$, determina l'area del triangolo $B C D$.
$$
\left.\left[y_{3} ; \text { a }\right) y=2 x+2 ; \text { b) } C(4 ; 10) ; \text { c) } y=6 x-14 ; \frac{32}{3}\right]
$$

 

 

problema sulla parabola, non riesco a risolverlo

photo 2022 08 06 17 21 12
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3 Risposte



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@andrea_bergamini

y1 non rappresenta il grafico in figura perché |f(x)|+2 non ha intersezioni con l'asse delle X. 

y2 non rappresenta il grafico in figura perché il punto (1:3) non appartiene a y2(x). Infatti y2(1) = 1

y3 rappresenta il grafico in figura. 

      

        = { x* (x-2) + 2  se x>=2 

y3=

       = { x* (2-x) + 2 se x<2

 

Utilizziamo le formule di sdoppiamento per trovare la retta r tangente alla curva nel punto B(0,2)

 

x - - > x/2

y - - > y/2

x² - - > x*0

 

Essendo (x-2)<0 per x<2, risulta:

|x-2| = 2-x

Quindi la funzione y3 ha equazione:

y3= - x² + 2x + 2

 

Operando le sostituzioni sopra indicate, otteniamo l'equazione della retta r

r: (y+2)/2 = 2*(x/2) + 2 ==> y= 2x + 2

 

L'ulteriore intersezione di r con y3 ha ascissa maggiore di 2. Quindi |x-2|= x-2.

Il punto di intersezione si determina mettendo a sistema l'equazione della retta r con la funzione y3. 

 

{y=2x+2

{y=x² - 2x + 2

 

Sostituendo la prima equazione nella seconda, otteniamo:

x²-4x=0

 

Da cui si ricava:

x=0 

x=4

Quindi: C=(4, 10)

 

Utilizziamo nuovamente le formule di sdoppiamento per trovare l'equazione della retta s tangente ad y3 in C

 

x² —> 4x

x ---> (x+4)/2

y —-> (y+10)/2

 

Con y3= x² - 2x + 2 si ottiene:

 

(y+10)/2= 4x - 2* [(x+4)/2] + 2

y+10 = 8x - 2x - 8 + 4

 

L'equazione della retta s è: y= 6x-14

 

Mettendo a sistema l'equazione della retta s con la funzione y=2 (retta AB), determino le coordinate del punto D

{y=2

{y= 6x-14

 

Sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

6x=16

x= 8/3

Quindi: D=(8/3 ; 2)

 

Conoscendo le coordinate dei vertici del triangolo puoi determinare l'area utilizzando la formula di Gauss. 

 

A= 1/2 * |8 + 16/3 - 80/3 - 8| = 1/2*(64/3) = 32/3

 

Quindi: A=32/3

 

 



3

Conosci le derivate?

OK. Visto tuo commento procedo alla risoluzione.

L'unica funzione che risponde ai requisiti grafici è l'ultima:

y = x·ABS(x - 2) + 2

Essa può scriversi come una funzione definita a tratti a patto di liberare il modulo in essa presente:

{ABS(x - 2) = x - 2

{x ≥ 2

oppure

{ABS(x - 2) = 2 - x

{x < 2

Quindi scrivo:

y=

{x·(x - 2) + 2  se x ≥ 2

{y = x·(2 - x) + 2   se x < 2

Visto che non hai sviluppato il problema delle derivate, risolvo il problema della determinazione della tangente in B(0,2) con le formule di sdoppiamento (potrei farlo anche in altro modo!)

y = x·(2 - x) + 2------> y = - x^2 + 2·x + 2 

quindi:

(y + 2)/2 = - 0·x + 2·(x + 0)/2 + 2

(y + 2)/2 = x + 2-----> y = 2·x + 2

Determino C come intersezione di tale retta con l'altra componente:

{y = 2·x + 2

{y = x·(x - 2) + 2

Risolvo il sistema ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 2, x = 4 ∧ y = 10]

Quindi C(4,10)

Determino quindi l'altra retta richiesta sempre con formule di sdoppiamento sulla parabola di destra:

y = x^2 - 2·x + 2

quindi:

(y + 10)/2 = 4·x - 2·(x + 4)/2 + 2

(y + 10)/2 = 3·x - 2------> y = 6·x - 14

Dalla figura ho la retta AB: y = 2 che metto a sistema per determinare il punto D:

{y = 2

{y = 6·x - 14

risolvo ed ottengo: D(8/3,2)

Per calcolare l'area del triangolo richiesto procedo nel seguente modo:

B(0,2)

C(4,10)

D(8/3,2)

B(0,2)

Quindi:

Α = 1/2·ABS(0·10 + 4·2 + 8/3·2 - (0·2 + 8/3·10 + 4·2))

Α = 32/3

image

 

@lucianop no

 



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QUESITO PRELIMINARE: la risposta è la #3
* #3: γ ≡ y = x*|x - 2| + 2
perché il punto angoloso dovuto al ribaltamento del grafico per il valore assoluto è all'ascissa due e non ce n'è un altro all'ascissa zero come nelle altre due
* #1: γ ≡ y = |x^2 - 2*x| + 2
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%7Cx%5E2-2*x%7C%2B2
* #2: γ ≡ y = |x|*(x - 2) + 2
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%7Cx%7C*%28x-2%29%2B2
------------------------------
Eliminando il modulo, γ si definisce per distinzione di casi; cosa che facilita il seguito.
Si hanno due parabole per A(2, 2) e B(0, 2) simmetriche rispetto y = 2, con asse x = 1, vertici V(1, 3) e V(1, 1), e aperture opposte da trovare come segue.
La forma delle due equazioni è
* Γ1 ≡ y = 3 - a*(x - 1)^2
* Γ2 ≡ y = 1 + a*(x - 1)^2
il passaggio per A e B, con (x - 1)^2 = 1, impone i vincoli
* (2 = 3 - a) & (2 = 1 + a) ≡ a = 1
da cui
* Γ1 ≡ y = 3 - (x - 1)^2
* Γ2 ≡ y = 1 + (x - 1)^2
* #3: γ ≡ (x <= 2) & (y = 3 - (x - 1)^2) oppure (x >= 2) & (y = 1 + (x - 1)^2)
------------------------------
QUESITO A
Il punto B(0, 2) è su Γ1 e non è il vertice V(1, 3), quindi la tangente r è la retta per B
* y = 2 + k*x
con pendenza
* m = y'(0) = 2*(1 - 0) = 2
cioè
* r ≡ y = 2*(x + 1)
------------------------------
QUESITO B
La retta r, in quanto tangente Γ1, non può che intersecare Γ2.
* (y = 2*(x + 1)) & (y = 1 + (x - 1)^2) ≡ C(4, 10)
------------------------------
QUESITO C
---------------
C1) La tangente s è la retta per C, su Γ2,
* y = 10 + k*(x - 4)
con pendenza
* m = y'(4) = 2*(4 - 1) = 6
cioè
* s ≡ y = 10 + 6*(x - 4) ≡
≡ y = 6*x - 14
---------------
C2) AB & s ≡ (y = 2) & (y = 6*x - 14) ≡ D(8/3, 2)
---------------
C2) L'area S del triangolo di vertici B(0, 2), C(4, 10), D(8/3, 2) è
* S = b*h/2 = (xD - xB)*(yC - yB)/2 = (8/3 - 0)*(10 - 2)/2 = 32/3



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