Parabola

Deve essere A < 0    e D >= 0

{ k - 2 < 0

{ 4 + 4(k - 2) >= 0

{ k < 2

{ 1 + k - 2 >= 0 =>  k >= 2 - 1 =>  k >= 1

1 <= k < 2

Mutatis mutandis, vale la precedente risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/55581/
che qui ti trascrivo, adattandola.
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E' un errore scrivere "la parabola di equazione ..." perché l'equazione
* Γ(k) ≡ y = (k - 2)*x^2 - 2*x - 1
NON E' L'EQUAZIONE DI UNA PARABOLA sola ("LA" è determinativo!), ma di un fascio che
a) per k = 2 rappresenta la retta
* Γ(1) ≡ y = - 2*x - 1
b) e, per k != 2, rappresenta la famiglia di parabole con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a = (k - 2)
* vertice V(1/(k - 2), 1/(2 - k) - 1)
* zeri X = (1 ± √(k - 1))/(k - 2)
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Fra tali parabole:
* hanno almeno un punto in comune con l'asse x quelle con zeri reali;
* hanno la concavità rivolta verso il basso (y < 0) quelle con a < 0;
* godono di entrambe le proprietà quelle che soddisfanno ad entrambe le condizioni.
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* (a < 0) & (con zeri reali) ≡
≡ (k - 2 < 0) & (k - 1 >= 0) ≡
≡ (k < 2) & (k >= 1) ≡
≡ 1 < k < 2
che è proprio il risultato atteso.