[Risolto] Parabola

Nel testo della domanda c'è già buona parte della risposta se si accetta la specificazione occulta di "asse di simmetria parallelo all'asse y".
In tal caso la condizione di tangenza determina sia la forma dell'equazione
* y = a*(x - 2)^2
che l'asse di simmetria
* x = 2
e le condizioni di appartenenza, contraddittorie, determinano la soluzione: il problema è IMPOSSIBILE IN QUANTO SOVRAVINCOLATO.
La contraddittorietà deriva dal fatto che B(0, 1) e C(3, 1) hanno la stessa ordinata, ma non sono simmetrici rispettoall'asse x = 2.
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Se invece si legge la consegna alla lettera allora prima si applicano alla forma della generica parabola
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
le tre condizioni di passaggio
* per A(2, 0): (u*2 + v*0)^2 + a*2 + b*0 + c = 0 ≡ 2*a + c + 4*u^2 = 0
* per B(0, 1): (u*0 + v*1)^2 + a*0 + b*1 + c = 0 ≡ b + c + v^2 = 0
* per C(3, 1): (u*3 + v*1)^2 + a*3 + b*1 + c = 0 ≡ (3*u + v)^2 + 3*a + b + c = 0
ottenendo
* (2*a + c + 4*u^2 = 0) & (b + c + v^2 = 0) & ((3*u + v)^2 + 3*a + b + c = 0) ≡
≡ (a = - (3*u + 2*v)*u) & (b = v^2 - 2*(u + v)^2) & (c = 2*(u + 2*v)*u)
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 - (3*u + 2*v)*u*x + (v^2 - 2*(u + v)^2)*y + 2*(u + 2*v)*u = 0
e poi, per la tangenza, s'impone d'annullarsi al discriminante della risolvente del sistema
* (y = 0) & Γ
risolvente
* (u*x)^2 - u*(3*u + 2*v)*x + 2*u*(u + 2*v) = 0
discriminante
* Δ = (u*(u - 2*v))^2 = 0 ≡ (u = 0) oppure (u = 2*v)
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* Γ1 ≡ (y - 1)*y = 0 (è il complesso ABC, non una parabola)
oppure
* Γ2 ≡ (2*x + y)^2 - 16*x - 17*y + 16 = 0 (LA SOLUZIONE)
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L'asse di simmetria è nel fascio improprio
* r(q) ≡ y = q - (u/v)*x = q - 2*x
quindi la tangente di vertice è nel fascio ortogonale
* t(p) ≡ y = p + x/2
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Il sistema
* t(p) & Γ2 ≡ (y = p + x/2) & ((2*x + y)^2 - 16*x - 17*y + 16 = 0)
ha risolvente
* (2*x + p + x/2)^2 - 16*x - 17*(p + x/2) + 16 = 0
con discriminante
* Δ = (9/4)*(80*p + 89) = 0 ≡ p = - 89/80
da cui
* tangente di vertice: t(- 89/80) ≡ y = x/2 - 89/80
* vertice: V(481/200, 9/100)
* asse di simmetria: r(q) ≡ y = 49/10 - 2*x (LA SOLUZIONE)
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VERIFICHE
Vedi il grafico e il paragrafo "Solution/s" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-1%29*y%3D0%2C%282*x--y%29%5E2-16*x-17*y--16%3D0%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-y--x%2F2+-+89%2F80%29*%28-y--49%2F10+-+2*x%29%3D0%2C%282*x--y%29%5E2-16*x-17*y--16%3D0%5D

@Alfonso3