[Risolto] PARABOLA

@lenaooo

Ciao

y = a·x^2 + b·x + c : parabola ad asse verticale

Passaggio per T(-1,-1) appartenente alla retta y=x:

-1 = a·(-1)^2 + b·(-1) + c

quindi: a - b + c = -1--------> b = a + c + 1

Quindi abbiamo eliminato una incognita!

Eliminiamone un'altra!

{y = a·x^2 + (a + c + 1)·x + c

{y = x

---------------------------------- (sottraiamo membro a membro)

a·x^2 + (a + c + 1)·x + c - x = 0

a·x^2 + x·(a + c) + c = 0

Condizione di tangenza: Δ = 0

(a + c)^2 - 4·a·c = 0

a^2 - 2·a·c + c^2 = 0--------> (a - c)^2 = 0------> c = a

Quindi abbiamo la parabola in un solo parametro a:

y = a·x^2 + (a + a + 1)·x + a

 la mettiamo a sistema con l'altra retta tangente:

{y = a·x^2 + x·(2·a + 1) + a

{y = 7·x + 9

-------------------------------

a·x^2 + x·(2·a + 1) + a - (7·x + 9) = 0------> a·x^2 + x·(2·a - 6) + (a - 9) = 0

Ulteriore condizione di tangenza:

(2·a - 6)^2 - 4·a·(a - 9) = 0-----> (4·a^2 - 24·a + 36) - (4·a^2 - 36·a) = 0

12·a + 36 = 0------> a = -3

Parabola:  y = (-3)·x^2 + x·(2·(-3) + 1) + -3------> y = - 3·x^2 - 5·x - 3

Ogni parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione della forma
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
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La condizione di passaggio per T(- 1, - 1) determina un parametro
* - 1 = h + a*(- 1 - w)^2 ≡ h = - 1 - a*(w + 1)^2
* Γ(a, w) ≡ y = a*(x - w)^2 - a*(w + 1)^2 - 1 ≡
≡ y = a*(x^2 - 2*w*x - (2*w + 1)) - 1
------------------------------
Le condizioni di tangenza delle rette
* y = x ("quadrante alla bisettrice del primo e terzo")
* y = 7*x + 9
detèrminano gli altri due parametri.
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Sistema
* (y = x) & (y = a*(x^2 - 2*w*x - (2*w + 1)) - 1)
Risultante
* y = a*(x^2 - 2*w*x - (2*w + 1)) - 1 - x = 0
Discriminante
* Δ(a, w) = (2*a*w + 2*a + 1)^2
Condizione di tangenza
* Δ(a, w) = 0 ≡ 2*a*w + 2*a + 1 = 0
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Sistema
* (y = 7*x + 9) & (y = a*(x^2 - 2*w*x - (2*w + 1)) - 1)
Risultante
* y = a*(x^2 - 2*w*x - (2*w + 1)) - 1 - (7*x + 9) = 0
Discriminante
* Δ(a, w) = (2*a*w + 2*a + 7)^2 + 12*a
Condizione di tangenza
* Δ(a, w) = 0 ≡ (2*a*w + 2*a + 1 + 6)^2 + 12*a = 0
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Sistema Risolutivo
* (2*a*w + 2*a + 1 = 0) & ((2*a*w + 2*a + 1 + 6)^2 + 12*a = 0) ≡
≡ (2*a*w + 2*a + 1 = 0) & ((0 + 6)^2 + 12*a = 0) ≡
≡ (a = - 3) & (w = - 5/6)
da cui
* h = - 1 - a*(w + 1)^2 = - 1 - (- 3)*(- 5/6 + 1)^2 = - 11/12
* Γ ≡ y = - 11/12 - 3*(x + 5/6)^2 ≡
≡ y = - 3*x^2 - 5*x - 3
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-3*x%5E2-5*x-3%2C7*x%5E2-8*x*y--9*x--y%5E2-9*y%3D0%5D