[Risolto] Parabola

a) per x = 0 la parabola vale -1, e questo vale per ogni valore attribuito a k reale. In altre parole tutte le parabole del fascio intersecano l'asse delle y nel punto P(0, -1) ovvero nessuna parabola del fascio passa per l'origine.

b) Le parabole sono concave (concavità verso il basso) per k < 0

c) Calcoliamo le coordinate del vertice

• $ V_x = -\frac{b}{a} = -\frac {k}{2k} = -\frac{1}{2}$
• $ V_y = -\frac{b^2-4ac}{4a} = - \frac{k^2-4k}{4k} = -\frac{k+4}{4} $

le coordinate del vertice della generica parabola sono  $V_k( -\frac{1}{2}, -\frac{4+k}{4})$ per cui

$-\frac{4+k}{4} = 1$

$-4-k = 4$

$ k = -8$

a) passa per l’origine

La presenza del termine noto esclude il fatto che la parabola passi per l'origine indipendentemente dal valore di k. Problema impossibile

b) ha la concavità rivolta verso il basso 

Deve essere k<0

c) Deve passare da [- 1/2, 1]

y = k·x^2 + k·x - 1

1 = k·(- 1/2)^2 + k·(- 1/2) - 1

1 = - k/4 - 1---> k = -8

y = - 8·x^2 - 8·x - 1