Considera il fascio di parabole di equazione:
$$
y=(k-1) x^2-2 x+3
$$
Dopo aver determinato i punti base e studiato le caratteristiche delle parabole del fascio, determina le parabole del fascio congruenti alla parabola di equazione $y=2 x^2$.
|liascio di parabole tangenti nel punto di coordinate $(0,3)$ alla retta $y=-2 x+3 ; y=2 x^2-2 x+3$ e $y=-2 x^2-2 x+3$ ]
11881
punti
Livello 2
a. Equazione del fascio di parabole
$Γ(k): y = (k-1)x^2 - 2x + 3$
b. Punti base.
Scegliamo due parabole e calcoliamo quali e quanti sono i punti comuni.
⊳ per k = 1 ⇒ y = -2x + 3 (parabola degenere)
⊳ per k = 2 ⇒ y = x² -2x + 3
Punti intersezione tra le due parabole. Si tratta di risolvere
$\left\{\begin{aligned} y &= x^2 -2x + 3 \\ y &= -2x + 3 \end{aligned} \right. $
Per riduzione. L'unica soluzione è x = 0 con molteplicità 2; si tratta quindi di un punto di tangenza di coordinate T(0,3).
c. Parabole del fascio congruenti con la parabola $y = 2x^2$
Due parabole
$ γ_1 = a_1x^2 +b_1x+c_1$
$ γ_2 = a_2x^2 +b_2x+c_2$
si dicono congruenti se hanno la stessa apertura o meglio $|a_1| = |a_2|$
Cerchiamo le parabole del fascio che soddisfano
|k-1| = 2
k-1 = ± 2
quindi
⊳ $k_1 = 3 \quad \implies \quad y = 2x^2-2x+3$
⊳ $k_1 = -1 \quad \implies \quad y = -2x^2-2x+3$
21742
punti
Livello 6
