Ogni parabola con asse di simmetria parallelo a un'asse coordinato, y in questo caso, ha equazione
* γ(a, k, h) ≡ y = a*(x - k)^2 + h
che dipende da soli tre parametri invece di cinque
* apertura a != 0
* coordinate del vertice V(k, h)
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Con
* V(0, - 12)
si scrive
* γ(a) ≡ y = a*x^2 - 12
da cui, imponendo il passaggio per A(√3, 0),
* 0 = a*(√3)^2 - 12 ≡ a = 4
si ottiene
* γ ≡ y = 4*x^2 - 12
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D4*x%5E2-12
E QUESTO ESAURISCE IL PUNTO a).
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Le intersezioni con l'asse x sono gli zeri della parabola
* Z1(- √3, 0), Z2(+ √3, 0)
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L'unica intersezione con la generica retta (x = k) parallela all'asse di simmetria è la soluzione di
* (x = k) & (y = 4*x^2 - 12) ≡ K(k, 4*(k^2 - 3))
che, se k^2 < 3, è uno dei vertici
* (- k, 4*(k^2 - 3)), (k, 4*(k^2 - 3)), (k, 0), (- k, 0)
di uno dei rettangoli inscritti nel segmento parabolico, con
* base b = 2*k
* altezza h = 4*(k^2 - 3)
fra essi c'è un solo quadrato per
* (b = h) & (k^2 < 3) ≡ (2*k = 4*(k^2 - 3)) & (k^2 < 3) ≡ k = - 3/2
coi vertici
* (3/2, - 3), (- 3/2, - 3), (- 3/2, 0), (3/2, 0)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By*%28y%2B3%29%3D0%2Cx%5E2%3D9%2F4%2Cy+%3D+4*x%5E2+-+12%5Dx%3D-7to7%2Cy%3D-13to1
E QUESTO ESAURISCE IL PUNTO b).
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I primi due punti sono problematici ed hanno meritato uno svolgimento dettagliato.
I secondi due punti sono banalmente applicativi.
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L'area del segmento parabolico, come dimostrò Archimede, è due terzi di quella del rettangolo circoscritto
* rettangolo: 3*2*√3
* segmento parabolico: (2/3)*3*2*√3 = 4*√3
* quadrato: 3^2 = 9
* rapporto richiesto: 9/(4*√3) = (3/4)*√3
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Determinare l'equazione di una circonferenza equivale a trovare i tre parametri (a, b, q).
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Le coordinate del centro di un poligono regolare sono la medie delle omologhe dei vertici.
Il centro del quadrato è C(0, - 3/2) e, per passare dai vertici, il raggio r = 3/√2 dev'essere metà diagonale.
* Γ ≡ x^2 + (y + 3/2)^2 = 9/2
