Parabola

Posto x = k con k > 0

4y - y^2 = k

y^2 - 4y + k = 0

y = 2 +- rad(4 - k)     con k <= 4

la differenza |y2 - y1| = 2 rad(4 - k)

deve essere uguale a k perché il rettangolo sia un quadrato

2 rad(4 - k) = k

4(4 - k) = k^2

k^2 + 4k - 16 = 0

k = -2 + rad(4 + 16) = 2 (rad(5) - 1)  = 4 fi (fi = rapporto aureo)

compreso fra 0 e 4

e così Sq = k^2 = 4 (5  + 1 - 2 rad(5)) = 4*2(3 - rad(5)) = 6(3 - rad(5))

https://www.desmos.com/calculator/agbawkuqc3

Sarebbe stata gradita una risposta

Il quadrato inscritto in un segmento parabolico deve avere
* un lato sulla corda delimitante e
* il lato opposto su una secante parallela che stacchi una corda lunga quanto la larghezza della striscia.
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Nel caso in esame la corda delimitante è l'asse y e la secante parallela è x = k, con 0 < k < 4, che interseca la
* x = 4*y – y^2
in A(k, 2 - √(4 - k)) oppure in B(k, 2 + √(4 - k)), distanti |AB| = 2*√(4 - k)
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Si ha un quadrato di area S = k^2 se e solo se
* 2*√(4 - k) = k ≡ k = 2*(√5 - 1)
da cui
* S = k^2 = (2*(√5 - 1))^2 = 8*(3 - √5) ~= 1919/314 ~= 6.11146