151 Considera le due parabole γ: y=x2−x e γ′: y= 2x2− 4x. Determina i due punti P∈γ e P′∈γ′, aventi la stessa ascissa, tali che la tangente a γ in P sia parallela alla tangente a γ′ in P
151 Considera le due parabole γ: y=x2−x e γ′: y= 2x2− 4x. Determina i due punti P∈γ e P′∈γ′, aventi la stessa ascissa, tali che la tangente a γ in P sia parallela alla tangente a γ′ in P
230
punti
Livello 1
{y = x^2 - x
{x = k
punto generico sulla parabola di ascissa k: [ x = k ∧ y = k^2 - k]
{y = 2·x^2 - 4·x
{x = k
punto generico sulla parabola di ascissa k: [ x = k ∧ y = 2·k^2 - 4·k]
Applico le formule di sdoppiamento per determinare le tangenti alle due parabole nei punti trovati.
y = x^2 - x in [k, k^2 - k]
(y + k^2 - k)/2 = k·x - (x + k)/2
risolvo rispetto ad y: y = x·(2·k - 1) - k^2
y = 2·x^2 - 4·x in [k, 2·k^2 - 4·k]
(y + 2·k^2 - 4·k)/2 = 2·k·x - 4·(x + k)/2
risolvo rispetto ad y: y = 4·x·(k - 1) - 2·k^2
Per essere parallele le due rette trovate devono avere lo stesso coefficiente angolare:
2·k - 1 = 4·(k - 1)----> k = 3/2
Quindi i punti sulle due parabole dove si verifica quanto richiesto sono:
[3/2, (3/2)^2 - 3/2]-----> [3/2, 3/4] punto A
[3/2, 2·(3/2)^2 - 4·(3/2)]------> [3/2, - 3/2] punto B
115472
punti
Genius III