Parabola

y + 1 = m(x - 0)

y = mx - 1

x^2 = mx - 1

x^2 - mx + 1 = 0    la risolvente deve avere D = 0

m^2 - 4*1*1 = 0

m^2 - 4 = 0

 

m = +-2

t1) y = -2x - 1

t2) y = 2x - 1

 

i due punti di tangenza T1 e T2

si trovano ponendo  x^2 + 2x + 1 = 0

x1 = -1, y1 = 1

e x^2 - 2x + 1 = 0

x2 = 1, y2 = 1

T1 = (-1,1), T2 = (1,1)

https://www.desmos.com/calculator/twjchmjv4f

e questo é il grafico

L'area di T1T2P é

St = b h/2 = (1 - (-1))*(1 - (-1))/2 = 4/2 = 2

a cui si deve sottrarre l'area del segmento parabolico retto

determinata con il teorema di Archimede

Sp = 2/3 * 2 * 1 = 4/3

così l'area richiesta é

S = 2 - 4/3 = 2/3

Tangenti
A) Ridurre a forma canonica l'equazione della parabola Γ data in forma esplicita.
* Γ ≡ y = x^2 ≡ x^2 - y = 0
B) Sdoppiare la forma canonica di Γ rispetto al polo P(0, − 1) ottenendo la retta polare p.
* p ≡ x*0 - (y − 1)/2 = 0 ≡ y = 1
C) Trovare i punti T di tangenza delle rette richieste intersecando p con Γ.
* p & Γ ≡ (y = 1) & (y = x^2) ≡ T1(- 1, 1) oppure T2(1, 1).
D) Determinare le tangenti richieste congiungendo P ai punti T di tangenza.
* PT1 ≡ y = - 1 - 2*x
* PT2 ≡ y = - 1 + 2*x
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-1-2*x-y%29*%28-1--2*x-y%29*%281-y%29%3D0%2Cy%3Dx%5E2%5Dx%3D-2to2%2Cy%3D-2to2
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Aree
E) Triangolo PT1T2: S(PT1T2) = (xT2 - xT1)*(yT - yP)/2 = 2
F) Segmento parabolico OT1T2: S(OT1T2) = |a|*(xT2 - xT1)^3/6 = 4/3
G) Unghia (Area richiesta): S = S(PT1T2) - S(OT1T2) = 2/3
Vedi il paragrafo "Inequality plot" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3E-1-2x%2Cy%3E-1--2*x%2Cy%3Cx%5E2%5D