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Unendo i punti medi dei lati del triangolo ABC ,si ottiene il triangolo PQR . Quanto misura ciascun angolo di questo triangolo? I due triangoli sono simili? Se sì, secondo quale criterio?

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... sì sono simili per 1° criterio tre angoli eguali ( in realtà dipende...) 

PQ è parallelo ad AB , QR a BC , RP a CA  per (Talete) quanto detto in seguito l'angolo in PQ^R vale quello in B^,  l'angolo in RP^Q vale quello in A^, l'angolo in QR^P vale quello in C^ ...

è facile dimostrare che i triangoli ARQ, BPR, CQP sono eguali  e simili , anzi uguali (oggi si dice congruenti), a PQR.

.................................... altra versione

Ad esempio ABC è simile a CQP per il 2° criterio un angolo in comune quello in C^ e due lati in proporzione 1:2

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Ad esempio ABC è simile a CQP  perchè PQ è parallelo ad AB (per costruzione) ,  e  l'angolo in A^ = CQ^P , perchè corrispondenti, e l'angolo in B^ = CP^Q .

Lo stesso  dicasi per ARQ, BPR , che sono simili ad  ABC e pertanto eguali tra loro in quanto P, Q, R sono i punti medi. (a questo punto si  può fermare la dimostrazione perchè PQR è uguale ai precedenti in quanto ha i lati , le basi verdi, in comune 3° criterio di eguaglianza (oggi si dice di congruenza)

Poi l'angolo QP^R vale quello in A^ in quanto è differenza da 180° degli angoli CP^Q = B^  e BP^R = C^ etc. .