Numero Complessi

Chiamiamo:

α = (√3 - 1)/2·(COS(pi/12) + i·SIN(pi/12))

β = (√3 - 1)/2·(COS(pi·23/12) + i·SIN(pi·23/12))

quindi:

α = (√3 - 1)/2·((√6 + √2)/4 + i·((√6 - √2)/4))

β = (√3 - 1)/2·((√6 + √2)/4 + i·(√2- √6)/4))

poi (i calcoli li fai tu)

α^2 = √3/2 - 3/4 + i·(1/2 - √3/4)

β^2 = √3/2 - 3/4 + i·(√3/4 - 1/2)

quindi:

1/α^2 = 1/(√3/2 - 3/4 + i·(1/2 - √3/4))

1/α^2 = 2·√3 + 3 - i·(√3 + 2)

1/β^2 = 1/(√3/2 - 3/4 + i·(√3/4 - 1/2))

1/β^2 = 2·√3 + 3 + i·(√3 + 2)

da cui:

1/α^2 + 1/β^2 = 4·√3 + 6

Promemoria
* (u*e^(i*m))*v*e^(i*n) = u*v*e^(i*(m + n))
* (ρ*e^(i*θ))^2 = (ρ^2)*e^(i*2*θ)
* 1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(a*b)^2
Esercizio
* a = z1: ρ = (√3 - 1)/2; θ1 = π/12.
* b = z2: ρ = (√3 - 1)/2; θ2 = 23*π/12.
* ρ^2 = 1 - √3/2
* 2*θ1 = π/6
* 2*θ2 = 23*π/6
* e^(i*23*π/6) = e^(i*11*π/6)
* a^2 = (1 - √3/2)*e^(i*π/6) = (1 - √3/2)*(cos(π/6) + i*sin(π/6)) =
= (1 - √3/2)*(√3/2 + i/2)
* b^2 = (1 - √3/2)*e^(i*11*π/6) = (1 - √3/2)*(cos(11*π/6) + i*sin(11*π/6)) =
= (1 - √3/2)*(√3/2 - i/2)
* (a*b)^2 = ((1 - √3/2)^2)*(√3/2 + i/2)*(√3/2 - i/2) =
= (7/4 - √3)
E INFINE
* 1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(a*b)^2 =
= (1 - √3/2)*(√3/2 + i/2 + √3/2 - i/2)/(7/4 - √3) =
= (1 - √3/2)*√3/(7/4 - √3) =
= (√3 - 3/2)/(7/4 - √3) =
= 2*(3 + 2*√3)
che è proprio il risultato atteso.

z1² = ((sqrt3-1)e^(i*pi/12) /2)^2 = ((sqrt3-1)^2*e^(i*2pi/12) /4) = ((sqrt3-1)^2*e^(i*pi/6) /4)

z2² = ((sqrt3-1)e^(i*23pi/12) /2)^2 = ((sqrt3-1)^2*e^(i*2*23pi/12) /4) = ((sqrt3-1)^2*e^(i*23pi/6) /4) = ((sqrt3-1)^2*e^(i*(24-1)pi/6) /4) =((sqrt3-1)^2*1*e^(i*(-1)pi/6) /4)

Quindi z2² è coniugato di z1²  

{ poniamo , per comodità, z1² =  x + i*y = rho*e^(i*pi/6) }

1/z1² + 1/z2² = (z2² +z1²)/(z1*z2)² = (x-iy + x+iy) /((x+iy)( x-iy)) = (x+ x) /(x²+y²) = 2x /(x²+y²) = 2x /rho² = 2rho*cos(pi/6) /rho² = 2* ((sqrt3-1)^2*cos(pi/6) /4)/ ((sqrt3-1)^2/4)² = (cos(pi/6)) /((sqrt3-1)^2/8) = 4sqrt3/ (sqrt3-1)^2

= 4sqrt3/ (3 -2sqrt3+1) = 4sqrt3/(4 -2sqrt3) =2sqrt3/(2 - sqrt3) = 2sqrt3(2 + sqrt3) /(4 - 3) = 2sqrt3(2 + sqrt3) = 2(2 sqrt3+ 3) --->OK

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nota che 1 = e^(i*2k*pi)  con k intero relativo ---> 0 ,+-1,+-2 ...

e che i coniugati hanno argomento {angolo o fase } opposto

z = x+iy =rho* e^(i*a)    z(coniug) = x - iy = rho*e^(i(-a))

e ovviamente ...

x = rho*cosa      e     y = rho*sena