Numero 83

Dato che $ABC$ è isoscele, gli angoli sulla base $\alpha \cong \alpha '$ sono congruenti. Condotta la perpendicolare ad $\overline{AB}$ passante epr $B$, prolunghiamo la retta $\overline{AC}$ fino a quando non interseca la perpendicolare in $D$. $A,C,D$ appartengono alla stessa retta, quindi gli angoli $\widehat{ABC}=\gamma$ e $\widehat{BCD}=\gamma '$ sono supplementari, cioè $\gamma= 180^{\circ}-\gamma '$. Dato che $\widehat{ABD}=90^{\circ}$ per costruzione, $\widehat{CBD}=\epsilon '=90^{\circ}-\alpha$. Sapendo che $\gamma ' =180^{\circ}- \gamma$ e che $\epsilon '=90-\alpha$, possiamo calcolare $\epsilon$:

Ovviamente $\gamma=180^{\circ}-2\alpha$
$\epsilon + \epsilon ' + \gamma '= 180^{\circ}$

$\epsilon + 90^{\circ}-\alpha + 180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha) = 180^{\circ}$

$\epsilon = 90^{\circ} - \alpha \cong \epsilon '$

Abbiamo dimostrato che gli angoli sulla base $\overline{BD}$ si $BDC$ sono congruenti, pertanto $BDC$ è isoscele.

Chiamiamo $a$ il lato obliquo di $\overline{ABC}$ e $\ell$ la base.

Dal momento che $\overline{AC} \cong \overline{BC}$ ($ABC$ è isoscele) e che $\overline{BC} \cong \overline{CD}$ ($BDC$ è isoscele), sappiamo che $\overline{AC} \cong \overline{CD}$, cioè che $\overline{AD} = 2\overline{AC}=2a$, quindi $C$ è il punto medio di $\overline{AD}$. Il perimetro di $ABC$ è chiaramente $2a+\ell$, quello di $ABD$ è $2a+\ell+\overline{BD}$.

Per il teorema di Talete, la parallela ad $\overline{AB}$ condotta da $C$ individua su $\overline{BD}$ il punto medio del segmento, tale punto lo indichiamo con $E$. Con un ragionamento analogo, la perpendicolare ad $\overline{AB}$ passante per $C$ individua su $\overline{AB}$ un punto $F$ tale che $\overline{AF}=\overline{FB}$. Il quadrilatero $BECF$ ha i lati consecutivi perpendicolari per costruzione, per questo è un rettangolo. Ne segue che $\overline{CE}=\dfrac{\ell}{2}$, quindi che $\overline{BD}=\sqrt{4a^2-\ell^2}$ dal teorema di Pitagora. Il perimetro di $ABD$ quindi è $2a+\ell + \sqrt{4a^2-\ell^2}$.

Il problema ci chiede di trovare il valore di $k$ tale che:

$k(2a+\ell)=2a+\ell+\sqrt{4a^2-\ell^2}$

$k=1+\sqrt{\dfrac{4a^2-\ell^2}{(2a+\ell)^2}}=1+\sqrt{\dfrac{(2a+\ell)(2a-\ell)}{(2a+\ell)^2}}=1+\sqrt{\dfrac{2a-\ell}{2a+\ell}}$.

Il valore minimo del radicando si ottiene quando $2a-\ell =0 \implies \ell=2a$, e si avrebbe $k=1$. Per trovare il valore massimo osserviamo che $2a+\ell > 0 \implies \ell>-2a$ perché è la somma di due numeri positivi, affinché esista il radicando è necessario anche che $2a-\ell>0 \implies \ell <2a$, quindi $-2a<\ell<2a$ ma $\ell$ è un valore positivo, quindi $0<\ell<2a$, nel caso limite sostituiamo $\ell=0$:

$k<1+\sqrt{\dfrac{2a-0}{2a+0}}<1+1<2$

In definitiva $1 \leq k <2$.

Un triangolo isoscele ABC ha la base AB di lunghezza lL

La perpendicolare alla base condotta da B incontra la retta del lato AC in D 

Dopo aver dimostrato che il triangolo BDC è isoscele trova le lunghezze dei lati del triangolo in modo che il.perimetro del triangolo ABD sia k volte di quello ABC 

posta la base L = 1 si ha 1 < k < 2 con i valori sottonotati , mentre il rapporto areale k' è 2 

Procedura alternativa per determinare l'espressione da discutere

Abbiamo:

β = pi/2 - α

δ = pi/2 - α

Quindi:

β = δ

Il triangolo BCD è isoscele

-----------------------------------

AD = 2·x per conseguenza

(il triangolo rettangolo ABD è inscrivibile in una circonferenza di raggio x)

ΒD = √((2·x)^2 - L^2)  (Th Pitagora)

ΒD = √(4·x^2 - L^2) con x > L/2

I due perimetri sono: 

p(ABC) = L + 2·x

p(ABD) = L + 2·x + √(4·x^2 - L^2)

Deve essere: p(ABD) = k*p(ABC)

L + 2·x + √(4·x^2 - L^2) = k·(L + 2·x)  con k ≥ 1

√(4·x^2 - L^2) = k·(L + 2·x) - (L + 2·x)

√(4·x^2 - L^2) = (k - 1)·(2·x + L)

elevo al quadrato:

(2·x + L)·(2·x - L) = (k - 1)^2·(2·x + L)^2

2·x + L ≠ 0  quindi:

2·x - L = (k - 1)^2·(2·x + L)

2·x - L = 2·x·(k - 1)^2 + L·(k - 1)^2

2·x - 2·x·(k - 1)^2 = L·(k - 1)^2 + L

2·k·x·(2 - k) = L·(k^2 - 2·k + 2)

x = L·(k^2 - 2·k + 2)/(2·k·(2 - k))

Quindi dovendo essere :

x > L/2

Deve essere:

{k ≥ 1

{0 < k < 2  (denominatore maggiore di 0)

Quindi la soluzione: [1 ≤ k < 2]