[Risolto] Numero 159

In un triangolo rettangolo con area 980 cm2 le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono una 1/4 dell'altra. Determina l'ipotenusa. 

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Proiezione cateto minore $pc=x;$

proiezione cateto maggiore $pC=4x;$

quindi:

ipotenusa $i= x+4x = 5x;$

altezza relativa all'ipotenusa $h= \sqrt{x·4x} = \sqrt{4x^2} = 2x$ (dal 2° teorema di Euclide);

equazione utilizzando la formula dell'area:

$\dfrac{5x·2x}{2} = 980$

$10x^2 = 1960$

$x^2 = 196$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{196}$

$x= 14$

per cui:

ipotenusa $i= 5x = 5·14 = 70\,cm;$

per la verifica:

altezza $h= 2x = 2·14 = 28\,cm;$

area $A= \dfrac{i·h}{2} = \dfrac{70×28}{2} = 980\,cm^2.$

Conosci Il 2° teorema di Euclide? Conosci  le equazioni?

CH ed HB sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

HB = 1/4 CH;

chiamiamo CH = x;

HB = 1/4 * x;

AH = altezza relativa all'ipotenusa. 2° teorema di Euclide:

CH : AH = AH : HB;

x : AH = AH : 1/4 * x

AH^2 = 1/4 x^2;

AH = radicequadrata(1/4 x^2) = 1/2 x;

ipotenusa CB = x + 1/4 x = 4/4 x + 1/4 x = 5/4 x; base del triangolo;

Area = b * h / 2 = 980 cm^2;

(5/4 x * 1/2 x) / 2 = 980;

5/8 x^2 = 980 * 2;

x^2 = 1960 * 8/5;

x^2 = 3136;

x = radice quadrata(3136) = 56 cm; (CH);

HB = 56 * 1/4 = 14 cm;

ipotenusa CB = CH + HB;

CB = 56 + 14 = 70 cm; ipotenusa.

Ciao  @osvaldo

L'altezza è AH = 1/2 * x =  56 * 1/2 = 28 cm. 

detta 1 la proiezione maggiore p1:

ipotenusa i = 1+1/4 = 5/4

cateto maggiore C = √1*5/4 = √5 /2

cateto minore c = √1/4*5/4 = √5/16 = √5 /4

area A = 980 = p1^2*5/16

p1 = 56 

i = 56*5/4 = 70 cm 

C = 28*√5

c = 14√5

area A = 14^2*5 = 980 cm^2