Numeri periodi prima superiore tecnico

$\left(1.\overline{09}-\dfrac{1.01}{10^2}:\dfrac{0.11}{10} \right) \cdot (0.\overline{9})^4$

Per trasformare un numero periodico in una frazione ti basta prendere il numero senza virgola e sottrarre la parte che non fa parte del periodo (anch'essa presa senza la virgola) e dividere la differenza per un numero composto da tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, quindi $1.\overline{09}= \dfrac{109-1}{99}=\dfrac{108}{99}=\dfrac{12}{11}$ semplificando. Un numero decimale non periodico puoi esprimerlo in frazione prendendo il numero intero senza virgola e dividerlo per un numero composto da 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre nella parte decimale, ad esempio $1.01 = \dfrac{101}{100}$. Facciamo tutte queste trasformazioni:

$\left(\dfrac{12}{11}-\dfrac{\frac{101}{100}}{100}: \dfrac{\frac{11}{100}}{10} \right) \cdot 1^4$

Ora facciamo la divisione tra frazioni e la frazione di frazione ribaltando i numeratori e denominatori dei divisori, ad esempio $\dfrac{\frac{101}{100}}{\frac{100}{1}} =\dfrac{101}{100} \cdot \dfrac{1}{100} = \dfrac{101}{100^2}$.

$\dfrac{12}{11}-\dfrac{101}{100^2} : \dfrac{11}{100} \cdot \dfrac{1}{10}$

 $\dfrac{12}{11} - \dfrac{101}{100^2} :\dfrac{11}{1000}$

$\dfrac{12}{11} - \dfrac{101}{10^4} \cdot \dfrac{10^3}{11}$

$\dfrac{12}{11}-\dfrac{101}{110}=\dfrac{120-101}{110}=\dfrac{19}{110}$

=((109 - 1)/99 - 101/100/100/(0.11/10))·(9/9)^4=

=12/11 - 101/10000/(11/1000)·1^4=

=12/11 - 101/110=

=(120 - 101)/110= 19/110

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$\small \left(1,\overline{09}-\dfrac{1,01}{10^2}÷\dfrac{0,11}{10}\right)·\left(0,\overline9\right)^4 = $

$\small = \left(\dfrac{109-1}{99}-\dfrac{\dfrac{101}{100}}{100}÷\dfrac{\dfrac{11}{100}}{10}\right)·\left(\dfrac{9-0}{9}\right)^4 = $

$\small = \left(\dfrac{\cancel{108}^{12}}{\cancel{99}_{11}}-\dfrac{\dfrac{101}{100}}{\cancel{100}_{10}}·\dfrac{\cancel{10}^1}{\dfrac{11}{100}}\right)·\left(\dfrac{9}{9}\right)^4 = $

$\small = \left(\dfrac{12}{11}-\dfrac{\dfrac{101}{100}}{10}·\dfrac{1}{\dfrac{11}{100}}\right)·1^4 = $

commuta i numeratori dei fattori nella parentesi:

$\small = \left(\dfrac{12}{11}-\dfrac{1}{10}·\dfrac{\dfrac{101}{100}}{\dfrac{11}{100}}\right)·1 = $

$\small = \dfrac{12}{11}-\dfrac{1}{10}·\dfrac{101}{\cancel{100}_1}·\dfrac{\cancel{100}^1}{11} = $

$\small = \dfrac{12}{11}-\dfrac{1}{10}·\dfrac{101}{1}·\dfrac{1}{11} = $

$\small = \dfrac{12}{11}-\dfrac{1}{10}·\dfrac{101}{11} = $

$\small = \dfrac{12}{11}-\dfrac{101}{110} = $

$\small = \dfrac{120-101}{110} = $

$\small = \dfrac{19}{110} $

I numeri periodici sono frazioni, numeri razionali, risultato di divisioni:

1,09 (con 09 periodo) = ( 109 - 1) /99;  un 9 per ogni decimale periodico.

108 /99 = 12/11; (semplificando per 9).

Infatti 12 : 11 = 1,090909...

Ciao @pia_maria

((109-1)/99 - 101/100^2*10/0,11)*(9/9)^4

(12/11 - 101/(10*11) * 1^4

12/11 - 101/110

(120 - 101)/110

19/110