[Risolto] Numeri complessi, mi aiutate?

(1)

Riscriviamola come z = 1*e^(i*2π/3) ⇒ ρ=1; θ=2π/3

• forma polare

z = ρ(cosθ+isinθ) = cos(2π/3) + i sin(2π/3)

 

• forma algebrica

cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + i(√3) /2

 

(2)

³√z =

Applichiamo la formula di de Moivre alla forma polare

= ³√ρ(cos(θ/3+k2π/3) + isin(θ/3+k2π/3)) con k=0, 1, 2

-) k = 0

z₁ = 1(cos(2π/9) + i sin(2π/9))

-) k = 1

z₂ = (cos(θ/3+2π/3) + isin(θ/3+2π/3) = cos(8π/9) + i sin(8π/9)

-) k = 2

z₃ = (cos(θ/3+4π/3) + isin(θ/3+4π/3) = cos(10π/9) + i sin(10π/9)

Mi sembra di capire dalla tua raffica di domande sulle banalità dell'aritmetica complessa che l'aiuto di cui hai bisogno sia solo uno stringato ripasso un po' più breve ed organizzato dei tuoi appunti, evidentemente così dispersivi da confonderti le idee.
==============================
RIPASSO
------------------------------
A) Nomi, formule, definizioni
Con
* i: unità immaginaria tale che i^2 = 1
* e^(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ): "fòrmula di Eulero"
* e^(i*π) = - 1: "fòrmula del Diavolo" (Eulero, ~ 1748)
* x, y, ρ, θ: reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
si definiscono
A1) z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sin(θ))
A2) z' = x - i*y
A3) |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
A4) Re[z] = Re[z'] = x
A5) Im[z] = - Im[z'] = y
A6) θ = arg(z) per distinzione di casi
* per x < 0: θ = π + arctg(y/x)
* per x = 0: θ = π/2
* per x > 0: θ = arctg(y/x)
------------------------------
B) Operazioni
B1) (a + i*b) ± (u + i*v) = (a ± u) + i*(b ± v)
B2) (a + i*b) * (u + i*v) = (a*u - b*v) + i*(b*u + a*v)
la divisione è un po' impicciosa
B3) (a + i*b) / (u + i*v) =
= (a + i*b)*(u - i*v)/((u + i*v)*(u - i*v)) =
= ((a*u + b*v) + i*(b*u - a*v))/(u^2 + v^2) =
= (a*u + b*v)/(u^2 + v^2) + i*(b*u - a*v)/(u^2 + v^2)
con l'inverso
B4) 1/(u + i*v) = u/(u^2 + v^2) - i*v/(u^2 + v^2)
ed anche la potenza intera
B5) z^n = (x + i*y)^n =
= (ρ^n)*e^(i*n*θ) = (ρ^n)*cos(n*θ) + i*(ρ^n)*sin(n*θ)
e non ti dico la radice intera, anzi le n radici n-me!
B6) radice principale w[0]: z^(1/n) = (x + i*y)^(1/n) =
= (ρ^(1/n))*e^(i*θ/n) = (ρ^(1/n))*cos(θ/n) + i*(ρ^(1/n))*sin(θ/n)
radici w[k], k in [0, n - 1]:
B7) w[k] = (ρ^(1/n))*cos(θ/n + k*2*π/n) + i*(ρ^(1/n))*sin(θ/n + k*2*π/n)
==============================
QUALCHE ESERCIZIO
------------------------------
2.1) B5, A2
2.2) B2, B1
2.3) B4
3.2) B2, A3
6) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/19060/